Seja X uma variável aleatória contínua com f.d.a. dada por:
F(x)=1-e^{-x} I_{[0, \infty)}(x)
Encontre a distribuição de Y=\log (X).
Passo 1
O enunciado dá a função distribuição acumulada (f.d.a.) de X. Vou escrever de forma clara a informação usada (assumindo a forma usual para a exponencial):
\text{(ii)}\quad X\text{ é contínua e tem suporte }[0,\infty).
O que o problema pede:
Encontrar a distribuição de Y=\log(X) — isto é, obter a f.d.a. de Y e, se conveniente, a densidade de Y.
Passo 2
Entendimento do mapeamento Y=\log(X) e do suporte:
A função x\mapsto \log(x) está definida para x>0 e é estritamente crescente.
Como X tem suporte [0,\infty) e P(X=0)=0 (variável contínua), X toma valores em (0,\infty) com probabilidade 1. Portanto Y=\log(X) toma valores em (-\infty,\infty).
Logo o domínio de Y é toda a reta real: y\in\mathbb{R}.
Passo 3
Método para obter a f.d.a. de Y (método da f.d.a. porque \log é monotônica crescente):
Para todo y\in\mathbb{R},
Como e^{y}>0 para todo y, usamos a expressão de F_X para pontos não negativos:
G_Y(y)=1-e^{-e^{y}},\qquad y\in\mathbb{R}.
Comentário didático: aqui usamos que para transformação monotônica Y=h(X) com h crescente, vale P(Y\le y)=P(X\le h^{-1}(y)). No nosso caso h(x)=\log x e h^{-1}(y)=e^{y}.
Passo 4
Obter a densidade de X (para usar na fórmula de mudança de variável, ou apenas para verificar):
Diferenciando F_X em x>0,
Observação final e interpretação leve:
A f.d.a. de Y é
G_Y(y)=1-e^{-e^{y}},
e a densidade é
f_Y(y)=e^{y}e^{-e^{y}},
para todo y\in\mathbb{R}. (Se quiser decorar: Y=\log X transforma a exponencial em uma densidade e^{y-e^{y}}, que é muito usada em extremos e modelos relacionados.)