Seja X uma variável aleatória normal com média 12 e desvio padrão 6. Encontre as seguintes probabilidades:
Passo 1
Beleza, o problema diz que X é uma variável aleatória que segue uma distribuição Normal com média μ = 12 e desvio-padrão σ = 6. A pergunta é: qual a probabilidade de X ser maior que 12, ou seja, P(X > 12)?
Conteúdo: distribuição Normal, conceito de padronização (Z-score) e uso da simetria/da tabela da Normal padrão.
Conteúdo: distribuição Normal, conceito de padronização (Z-score) e uso da simetria/da tabela da Normal padrão.
Passo 2
Primeiro, lembra que uma Normal(μ, σ) é uma curva em formato de “sino” centrada em μ e com dispersão controlada por σ.
Para usar tabelas ou propriedades genéricas, a gente geralmente “padroniza” X numa variável Z que segue a Normal padrão (média 0 e desvio 1). A fórmula é:
Para usar tabelas ou propriedades genéricas, a gente geralmente “padroniza” X numa variável Z que segue a Normal padrão (média 0 e desvio 1). A fórmula é:
Passo 3
No nosso caso, queremos P(X > 12). Aplicando a padronização:
Quando X = 12, isso dá
Logo
Passo 4
Agora vem a parte da teoria: a Normal padrão é simétrica em torno de zero. A área total sob a curva é 1, então metade da área está à esquerda de Z = 0 e metade à direita. Ou, em termos de função distribuição Φ:
então
Resposta
P(X > 12) = 0,5