Seja X uma variável aleatória normal com média 12 e desvio padrão 6. Encontre as seguintes probabilidades:
Passo 1
Beleza, então o enunciado é o seguinte: “Temos uma variável aleatória X que segue uma distribuição Normal com média 12 e desvio padrão 6. Queremos calcular a probabilidade
Isso é um problema clássico de Distribuição Normal. O que vamos usar aqui é a técnica de padronização (transformar X numa variável Z padrão) e a tabela (ou função) da Normal padrão pra achar essas probabilidades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é padronizar. Se X é Normal(μ, σ), definimos
para ter uma Normal padrão Z ~ N(0, 1). No nosso caso, μ = 12 e σ = 6. A ideia é reescrever
em termos de Z.
Passo 3
Vamos calcular os limites padronizados:
- Se X = 0, então
- Se X = 24, então
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Passo 4
Agora, precisamos da função de distribuição acumulada da Normal padrão, que a gente chama de Φ(z). Sabemos que
Por simetria da Normal, Φ(−2) = 1 − Φ(2). Então
Da tabela da Normal, geralmente Φ(2) ≈ 0{,}97725.
Passo 5
Substituindo: