Seja X uma variável aleatória normal com média 12 e desvio padrão 6. Encontre as seguintes probabilidades:
P(0

Passo 1

Beleza, então o enunciado é o seguinte: “Temos uma variável aleatória X que segue uma distribuição Normal com média 12 e desvio padrão 6. Queremos calcular a probabilidade
P(0 < X < 24)
Isso é um problema clássico de Distribuição Normal. O que vamos usar aqui é a técnica de padronização (transformar X numa variável Z padrão) e a tabela (ou função) da Normal padrão pra achar essas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é padronizar. Se X é Normal(μ, σ), definimos
Z = X - musigma
para ter uma Normal padrão Z ~ N(0, 1). No nosso caso, μ = 12 e σ = 6. A ideia é reescrever
P(0 < X < 24)
em termos de Z.

Passo 3

Vamos calcular os limites padronizados:
  • Se X = 0, então
z1 = 0 - 126 = -126 = -2
  • Se X = 24, então
z2 = 24 - 126 = 126 = 2
Logo
P(0 < X < 24) = Pl(-2 < Z < 2r)

Passo 4

Agora, precisamos da função de distribuição acumulada da Normal padrão, que a gente chama de Φ(z). Sabemos que
P(-2 < Z < 2) = Phi(2) - Phi(-2)
Por simetria da Normal, Φ(−2) = 1 − Φ(2). Então
Phi(2) - Phi(-2) = Phi(2) - [1 - Phi(2)] = 2,Phi(2) - 1
Da tabela da Normal, geralmente Φ(2) ≈ 0{,}97725.

Passo 5

Substituindo:
P(0 < X < 24) = 2 times 0,97725 - 1 = 1,95450 - 1 = 0,95450

Resposta

P(0 < X < 24) approx 0,9545(ou 95,45%)

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