Seja X uma variável aleatória normal com média 50 e desvio padrão 10. Calcule:
\mathrm{P}(\mathrm{X} \leq 60)

Passo 1

O enunciado informa que \mathrm{X} é uma variável aleatória com distribuição normal, média \mu=50 e desvio padrão \sigma=10. A questão pede para calcular a probabilidade
\mathrm{P}(\mathrm{X}\leq 60).

Passo 2

O que significa pedir \mathrm{P}(\mathrm{X}\leq 60)? Significa a área acumulada sob a curva da densidade de \mathrm{X} à esquerda do ponto x=60.
Como a distribuição é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, não usamos diretamente a tabela; primeiro transformamos para a normal padrão (que tem média 0 e desvio 1). Vou explicar isso com calma.
Definição e fórmula da transformação (isso é importante na prova): se \mathrm{X} tem média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padronizada \mathrm{Z} por
\mathrm{Z}=\frac{\mathrm{X}-\mu}{\sigma}.
Aqui \mathrm{Z} tem distribuição normal padrão com média 0 e desvio 1. Na fórmula, \mathrm{X} é o valor original, \mu é a média da distribuição de \mathrm{X} e \sigma é o desvio padrão. Essa transformação basicamente “move” a média para zero e “ajusta” a escala para unidade 1, permitindo usar tabelas ou funções padrão.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao ponto x=60: substituímos \mathrm{X}=60, \mu=50 e \sigma=10:
\mathrm{Z}=\frac{60-50}{10}=\frac{10}{10}=1.
Portanto \mathrm{P}(\mathrm{X}\leq 60) é equivalente a \mathrm{P}(\mathrm{Z}\leq 1), isto é, a área à esquerda de z=1 na normal padrão.

Passo 4

Como encontrar \mathrm{P}(\mathrm{Z}\leq 1)? Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, normalmente denotada por \Phi(z). Em provas sem calculadora costuma-se usar a tabela da normal padrão; em calculadora/softwares usa-se a função integrada. Na tabela clássica, o valor de \Phi(1) (a área à esquerda de z=1) é
\Phi(1)=0,8413.
Se você usar a tabela, procure a linha 1,0 e a coluna 0,00; se usar uma calculadora, peça a \text{normalcdf}(-\infty,1) ou \Phi(1). Vou anotar o valor com vírgula conforme padrão: 0,8413.

Passo 5

Interpretação prática: \mathrm{P}(\mathrm{X}\leq 60)=0,8413 significa que aproximadamente 84,13\% da distribuição de \mathrm{X} está abaixo ou igual a 60.
Em termos de prova, os passos essenciais que você deve sempre fazer são: (1) padronizar usando \mathrm{Z}=(\mathrm{X}-\mu)/\sigma, (2) consultar \Phi(z) na tabela ou calculadora.

Passo 6

Exemplo rápido para fixar: se pedissem \mathrm{P}(\mathrm{X}\leq 40) com os mesmos \mu e \sigma, então \mathrm{Z}=(40-50)/10=-1 e \mathrm{P}(\mathrm{X}\leq 40)=\Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0,8413=0,1587. Isso mostra como usar simetria da normal para valores negativos.

Resposta

\mathrm{P}(\mathrm{X}\leq 60)=0,8413

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