Seja X uma variável aleatória normal com média 50 e desvio padrão 10. Calcule:
Passo 1
O enunciado informa que
é uma variável aleatória com distribuição normal, média
e desvio padrão
. A questão pede para calcular a probabilidade
Passo 2
O que significa pedir
? Significa a área acumulada sob a curva da densidade de
à esquerda do ponto
.
Como a distribuição é normal com média e desvio padrão
, não usamos diretamente a tabela; primeiro transformamos para a normal padrão (que tem média 0 e desvio 1). Vou explicar isso com calma.
Como a distribuição é normal com média
Definição e fórmula da transformação (isso é importante na prova): se
tem média
e desvio padrão
, definimos a variável padronizada
por
Aqui
tem distribuição normal padrão com média
e desvio
. Na fórmula,
é o valor original,
é a média da distribuição de
e
é o desvio padrão. Essa transformação basicamente “move” a média para zero e “ajusta” a escala para unidade 1, permitindo usar tabelas ou funções padrão.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao ponto
: substituímos
,
e
:
Portanto
é equivalente a
, isto é, a área à esquerda de
na normal padrão.
Passo 4
Como encontrar
? Usamos a função de distribuição acumulada da normal padrão, normalmente denotada por
. Em provas sem calculadora costuma-se usar a tabela da normal padrão; em calculadora/softwares usa-se a função integrada. Na tabela clássica, o valor de
(a área à esquerda de
) é
Se você usar a tabela, procure a linha
e a coluna
; se usar uma calculadora, peça a
ou
. Vou anotar o valor com vírgula conforme padrão:
.
Passo 5
Interpretação prática:
significa que aproximadamente
da distribuição de
está abaixo ou igual a
.
Em termos de prova, os passos essenciais que você deve sempre fazer são: (1) padronizar usando , (2) consultar
na tabela ou calculadora.
Em termos de prova, os passos essenciais que você deve sempre fazer são: (1) padronizar usando
Passo 6
Exemplo rápido para fixar: se pedissem
com os mesmos
e
, então
e
. Isso mostra como usar simetria da normal para valores negativos.