Seja Z uma variável aleatória normal padrão. Determine os valores de
de tal modo que:
.
Passo 1
O enunciado dá que
é uma variável aleatória normal padrão e pede os valores de
tais que
. Informações relevantes fornecidas:
Nada mais foi pedido além de determinar o(s) valor(es) de
que satisfeçam essa igualdade.
Passo 2
Entenda o que significa
em termos da função de distribuição acumulada (CDF). A CDF da normal padrão é denotada por
e dada por
Para qualquer
temos a relação
porque a soma das probabilidades
e
vale
(evento certo). Aqui expliquei o que é cada símbolo:
é a probabilidade acumulada até
;
é a cauda à direita de
.
Passo 3
Use a relação do passo anterior para transformar a equação do enunciado. Temos
Isolando
obtemos
Ou seja, o problema é encontrar o quantil
tal que
. Em palavras: queremos o valor de
que deixa
da massa à esquerda.
Passo 4
Use a propriedade de simetria da normal padrão para ligar
e
. A propriedade é
Aplicando essa identidade com
(ou raciocinando diretamente),
Explicação em linguagem simples: o quantil de
(30.º percentil) é o simétrico negativo do quantil de
(70.º percentil), porque a curva é simétrica em torno de zero. Então basta encontrar
e mudar o sinal.
Passo 5
Agora vamos achar numericamente
usando uma tabela de
(tabela z) ou cálculo aproximado. Em muitas tabelas:
Queremos o ponto onde
. Fazemos uma interpolação linear entre
e
:
Portanto
Expliquei o porquê da interpolação: a tabela dá valores em passos de
; se o valor desejado está no meio, a interpolação linear dá uma boa aproximação manual aceitável em provas.
Passo 6
Lembre que o
que queremos é o negativo desse quantil (veja o passo 4). Assim
Podemos dar o resultado com a precisão típica de tabelas:
. Isso significa que a área à direita de
sob a curva normal padrão é
, conforme pedido.