Seja Z uma variável aleatória normal padrão. Determine os valores de z de tal modo que:
P(Z>z)=0,7.

Passo 1

O enunciado dá que Z é uma variável aleatória normal padrão e pede os valores de z tais que P(Z>z)=0,7. Informações relevantes fornecidas:
\text{(i) } Z \sim N(0,1) \quad\text{(normal padrão, média }0\text{ e desvio padrão }1\text{);}ãéã
\text{(ii) } P(Z>z)=0,7 \quad\text{é a probabilidade escrita no enunciado.}é
Nada mais foi pedido além de determinar o(s) valor(es) de z que satisfeçam essa igualdade.

Passo 2

Entenda o que significa P(Z>z) em termos da função de distribuição acumulada (CDF). A CDF da normal padrão é denotada por \Phi(x) e dada por
\Phi(x)=P(Z\le x).
Para qualquer z temos a relação
P(Z>z)=1-\Phi(z),
porque a soma das probabilidades P(Z\le z) e P(Z>z) vale 1 (evento certo). Aqui expliquei o que é cada símbolo: \Phi(z) é a probabilidade acumulada até z; 1-\Phi(z) é a cauda à direita de z.

Passo 3

Use a relação do passo anterior para transformar a equação do enunciado. Temos
P(Z>z)=0,7 \iff 1-\Phi(z)=0,7.
Isolando \Phi(z) obtemos
\Phi(z)=1-0,7=0,3.
Ou seja, o problema é encontrar o quantil z tal que \Phi(z)=0,3. Em palavras: queremos o valor de z que deixa 30\% da massa à esquerda.

Passo 4

Use a propriedade de simetria da normal padrão para ligar \Phi(z) e \Phi(-z). A propriedade é
\Phi(-a)=1-\Phi(a)\quad\text{para todo }a.
Aplicando essa identidade com a=\Phi^{-1}(0,7) (ou raciocinando diretamente),
\Phi(z)=0,3 \iff z=\Phi^{-1}(0,3)= -\Phi^{-1}(0,7).
Explicação em linguagem simples: o quantil de 0,3 (30.º percentil) é o simétrico negativo do quantil de 0,7 (70.º percentil), porque a curva é simétrica em torno de zero. Então basta encontrar \Phi^{-1}(0,7) e mudar o sinal.

Passo 5

Agora vamos achar numericamente \Phi^{-1}(0,7) usando uma tabela de \Phi (tabela z) ou cálculo aproximado. Em muitas tabelas:
\Phi(0,52)=0,6985,\qquad \Phi(0,53)=0,7019.
Queremos o ponto onde \Phi(z)=0,7000. Fazemos uma interpolação linear entre 0,52 e 0,53:
\text{fração}=\frac{0,7000-0,6985}{0,7019-0,6985}=\frac{0,0015}{0,0034}\approx0,4412.çã
Portanto
\Phi^{-1}(0,7)\approx 0,52+0,01\cdot0,4412\approx 0,5244.
Expliquei o porquê da interpolação: a tabela dá valores em passos de 0,01; se o valor desejado está no meio, a interpolação linear dá uma boa aproximação manual aceitável em provas.

Passo 6

Lembre que o z que queremos é o negativo desse quantil (veja o passo 4). Assim
z=\Phi^{-1}(0,3)=-\Phi^{-1}(0,7)\approx -0,5244.
Podemos dar o resultado com a precisão típica de tabelas: z\approx -0,5244. Isso significa que a área à direita de -0,5244 sob a curva normal padrão é 0,7, conforme pedido.

Resposta

-0,5244

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