Uma amostra aleatória simples de 60 itens resultou em uma média amostral igual a 80. O desvio padrão populacional é igual a 15.
a) Calcule o intervalo de confiança de
para a média populacional.
b) Suponha que a mesma média amostral tenha sido obtida de uma amostra de 120 itens. Forneça um intervalo de confiança de
para a média populacional.
c) Qual é o efeito de um tamanho amostral maior sobre a estimativa intervalar?
a) Calcule o intervalo de confiança de
b) Suponha que a mesma média amostral tenha sido obtida de uma amostra de 120 itens. Forneça um intervalo de confiança de
c) Qual é o efeito de um tamanho amostral maior sobre a estimativa intervalar?
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Informação dada:
- A média amostral é
. - O desvio padrão populacional é
. - Caso (a): tamanho amostral
. - Caso (b): tamanho amostral
. - O nível de confiança pedido é
.
- A média amostral é
- Perguntas:
- (a) Calcular o intervalo de confiança de
para a média populacional usando a amostra com . - (b) Repetir o intervalo de confiança de
supondo agora . - (c) Explicar qual é o efeito de aumentar o tamanho amostral sobre a estimativa intervalar.
- (a) Calcular o intervalo de confiança de
Passo 2
O que é um intervalo de confiança (intuitivamente e de forma prática)?
- Um intervalo de confiança de
para a média é um intervalo construído a partir da amostra que, sob repetidas amostragens, vai cobrir a verdadeira média populacional em aproximadamente das vezes. - Na prática para média com desvio populacional conhecido, o intervalo tem centro na média amostral
e “meia‑largura” dada por uma constante (do normal padrão) vezes o erro padrão da média. Vamos ver a fórmula.
Passo 3
Fórmula a usar (caso
conhecido):
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda . Para de confiança, e usamos . -
é o desvio padrão populacional (aqui ). -
é o tamanho da amostra. -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral oscila em volta da média populacional).
Passo 4
Qual é o valor de
e por quê?
- Para
de confiança queremos centralizar a região que deixa em cada cauda da normal. O quantil da normal padrão correspondente a área cumulativa é aproximadamente
- Portanto usaremos
como multiplicador (é o valor padrão para quando se usa a normal).
Passo 5
Cálculo do intervalo para o caso (a) com
.
- Primeiro calcular o erro padrão:
- Calcular numericamente:
- A meia‑largura (margem de erro) é
- Os limites do intervalo são
Passo 6
Arredondando de forma prática (duas casas decimais) para apresentar o intervalo de (a):
Passo 7
Cálculo do intervalo para o caso (b) com
.
- Erro padrão:
- Numérico:
- Margem de erro:
- Limites do intervalo:
Passo 8
Arredondando para duas casas decimais o intervalo de (b):
Passo 9
Efeito de aumentar o tamanho amostral (resposta para (c)), com explicação e números:
- Da fórmula a meia‑largura
é proporcional a . Ou seja, se aumenta, o erro padrão cai como e o intervalo fica mais estreito (mais preciso). - No exemplo numérico:
- Largura do intervalo em (a) foi aproximadamente
. - Largura do intervalo em (b) foi aproximadamente
. - Ao dobrar
de para a margem de erro reduziu por um fator aproximadamente
portanto a largura do intervalo foi multiplicada por . - Largura do intervalo em (a) foi aproximadamente
- Interpretação prática: amostra maior → intervalo mais estreito → maior precisão da estimativa da média, mantendo o mesmo nível de confiança; o valor central (
) não muda se a média amostral for a mesma.
Resposta
(a)
(b)
(c) Um tamanho amostral maior reduz a margem de erro e, portanto, estreita o intervalo de confiança (a meia‑largura é proporcional a ; no exemplo, ao dobrar
a largura caiu por aproximadamente
).
(b)
(c) Um tamanho amostral maior reduz a margem de erro e, portanto, estreita o intervalo de confiança (a meia‑largura é proporcional a