Uma amostra aleatória simples de 60 itens resultou em uma média amostral igual a 80. O desvio padrão populacional é igual a 15.
a) Calcule o intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional.
b) Suponha que a mesma média amostral tenha sido obtida de uma amostra de 120 itens. Forneça um intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional.
c) Qual é o efeito de um tamanho amostral maior sobre a estimativa intervalar?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Informação dada:
    • A média amostral é \bar{x}=80.
    • O desvio padrão populacional é \sigma=15.
    • Caso (a): tamanho amostral n=60.
    • Caso (b): tamanho amostral n=120.
    • O nível de confiança pedido é 95\%.
  • Perguntas:
    1. (a) Calcular o intervalo de confiança de 95\% para a média populacional usando a amostra com n=60.
    2. (b) Repetir o intervalo de confiança de 95\% supondo agora n=120.
    3. (c) Explicar qual é o efeito de aumentar o tamanho amostral sobre a estimativa intervalar.

Passo 2

O que é um intervalo de confiança (intuitivamente e de forma prática)?
  • Um intervalo de confiança de 95\% para a média é um intervalo construído a partir da amostra que, sob repetidas amostragens, vai cobrir a verdadeira média populacional em aproximadamente 95\% das vezes.
  • Na prática para média com desvio populacional conhecido, o intervalo tem centro na média amostral \bar{x} e “meia‑largura” dada por uma constante (do normal padrão) vezes o erro padrão da média. Vamos ver a fórmula.

Passo 3

Fórmula a usar (caso \sigma conhecido):
\text{IC}_{1-\alpha}:\quad \bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=80).
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente à cauda \alpha/2. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e usamos z_{0,975}.
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui \sigma=15).
  • n é o tamanho da amostra.
  • \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é o erro padrão da média (quanto a média amostral oscila em volta da média populacional).

Passo 4

Qual é o valor de z_{0,975} e por quê?
  • Para 95\% de confiança queremos centralizar a região que deixa 2,5\% em cada cauda da normal. O quantil da normal padrão correspondente a área cumulativa 0,975 é aproximadamente
z_{0,975}\approx 1,96.
  • Portanto usaremos 1,96 como multiplicador (é o valor padrão para 95\% quando se usa a normal).

Passo 5

Cálculo do intervalo para o caso (a) com n=60.
  • Primeiro calcular o erro padrão:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{60}}.
  • Calcular numericamente:
\sqrt{60}\approx 7,745966692\quad\Rightarrow\quad \text{SE}\approx \frac{15}{7,745966692}\approx 1,9365.
  • A meia‑largura (margem de erro) é
\text{ME}=z_{0,975}\cdot\text{SE}\approx 1,96\cdot 1,9365\approx 3,7955.
  • Os limites do intervalo são
\text{Limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=80-3,7955\approx 76,2045,
\text{Limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=80+3,7955\approx 83,7955.

Passo 6

Arredondando de forma prática (duas casas decimais) para apresentar o intervalo de (a):
\text{IC}_{95\%}\text{ (a)}\approx \bigl(76,20,\;83,80\bigr).

Passo 7

Cálculo do intervalo para o caso (b) com n=120.
  • Erro padrão:
\text{SE}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{15}{\sqrt{120}}.
  • Numérico:
\sqrt{120}\approx 10,95445115\quad\Rightarrow\quad \text{SE}\approx \frac{15}{10,95445115}\approx 1,3693.
  • Margem de erro:
\text{ME}=1,96\cdot 1,3693\approx 2,6818.
  • Limites do intervalo:
\text{Limite inferior}=80-2,6818\approx 77,3182,
\text{Limite superior}=80+2,6818\approx 82,6818.

Passo 8

Arredondando para duas casas decimais o intervalo de (b):
\text{IC}_{95\%}\text{ (b)}\approx \bigl(77,32,\;82,68\bigr).

Passo 9

Efeito de aumentar o tamanho amostral (resposta para (c)), com explicação e números:
  • Da fórmula a meia‑largura \text{ME}=z_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é proporcional a 1/\sqrt{n}. Ou seja, se n aumenta, o erro padrão cai como 1/\sqrt{n} e o intervalo fica mais estreito (mais preciso).
  • No exemplo numérico:
    • Largura do intervalo em (a) foi aproximadamente 2\cdot 3,7955\approx 7,5911.
    • Largura do intervalo em (b) foi aproximadamente 2\cdot 2,6818\approx 5,3636.
    • Ao dobrar n de 60 para 120 a margem de erro reduziu por um fator aproximadamente
    \frac{3,7955}{2,6818}\approx 1,415\approx \sqrt{2},portanto a largura do intervalo foi multiplicada por 1/\sqrt{2}\approx 0,7071.
  • Interpretação prática: amostra maior → intervalo mais estreito → maior precisão da estimativa da média, mantendo o mesmo nível de confiança; o valor central ( \bar{x}=80) não muda se a média amostral for a mesma.

Resposta

(a) \bigl(76,20,\;83,80\bigr)
(b) \bigl(77,32,\;82,68\bigr)
(c) Um tamanho amostral maior reduz a margem de erro e, portanto, estreita o intervalo de confiança (a meia‑largura é proporcional a 1/\sqrt{n}; no exemplo, ao dobrar n a largura caiu por aproximadamente 1/\sqrt{2}).

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