Seja c uma variável aleatória que representa o comprimento de pregos produzidos por uma certa máquina. Supondo que essa variável tenha distribuição normal com média 3,2 cm e variância de 0,25 cm^2, a probabilidade de escolher um prego aleatoriamente com comprimento dentre 3,3 e 3,6 cm é
A. 20,88 %
B. 28,98 %
C. 70,88 %
D. 78,98 %
Gabarito: A

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre o comprimento dos pregos produzidos por uma máquina. A variável aleatória $ c $ representa esse comprimento e segue uma distribuição normal com média de $ 3,2 $ cm e variância de $ 0,25 $ cm². A gente precisa descobrir qual a probabilidade de, se escolhermos um prego aleatoriamente, ele ter um comprimento entre $ 3,3 $ cm e $ 3,6 $ cm. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e tabelas de probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é simétrica e é caracterizada pela média ($ \mu mu ã \sigma $), que é a raiz quadrada da variância. Aqui, $ \mu = 3,2 $ cm e $ \sigma = \sqrt{0,25} = 0,5 $ cm.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade entre $ 3,3 $ cm e $ 3,6 $ cm, vamos padronizar esses valores usando a fórmula do escore z:
3,3

Passo 4

Calculando o z para $ 3,3 $ cm:
3,3
E para $ 3,6 $ cm:
z1 = 3,3 - 3,20,5 = 0,10,5 = 0,2

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esses valores de z usando a tabela da distribuição normal padrão.
P(z <= 0,8) - P(z <= 0,2)
Consultando a tabela, encontramos:
P(z <= 0,8) approx 0,7881
P(z <= 0,2) approx 0,5793

Passo 6

Subtraindo as duas probabilidades para encontrar a probabilidade entre $ 3,3 $ cm e $ 3,6 $ cm:
3,3

Resposta

A probabilidade é de aproximadamente 20,88 %.

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