Seja x uma variável aleatória que representa o comprimento de pregos produzidos por uma certa máquina. Supondo que essa variável tenha distribuição normal com média 3,2 cm e variância de 0,25 cm^2, a probabilidade de escolher um prego aleatoriamente com comprimento menor que 3,6 cm é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória x que representa o comprimento dos pregos produzidos por uma máquina. Essa variável segue uma distribuição normal com média mu = 3,2 cm e variância sigma^2 = 0,25 cm^2. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de escolher um prego aleatoriamente que tenha comprimento menor que 3,6 cm. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distribuição normal é simétrica e definida por sua média ( mu) e desvio padrão ( sigma), onde sigma é a raiz quadrada da variância. Aqui, a variância é 0,25 cm^2, então o desvio padrão é:
sigma = raiz0,25 = 0,5 cm

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de x < 3,6 cm. Para isso, vamos padronizar essa variável transformando-a na variável padrão Z da distribuição normal, que tem média 0 e desvio padrão 1. A fórmula para padronização é:
Z = x - musigma

Passo 4

Aplicando os valores que temos:
Z = 3,6 - 3,20,5 = 0,40,5 = 0,8

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade de Z < 0,8. Isso corresponde à área sob a curva da distribuição normal padrão à esquerda de Z = 0,8. Podemos usar uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora.

Passo 6

Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
P(Z < 0,8) approx 0,7881

Resposta

A probabilidade de escolher um prego aleatoriamente com comprimento menor que 3,6 cm é aproximadamente 78,81%.

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