Seja
uma variável aleatória que representa o comprimento de pregos produzidos por uma certa máquina. Supondo que essa variável tenha distribuição normal com média
e variância de
, a probabilidade de escolher um prego aleatoriamente com comprimento menor que
é?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma variável aleatória
que representa o comprimento dos pregos produzidos por uma máquina. Essa variável segue uma distribuição normal com média
e variância
. Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de escolher um prego aleatoriamente que tenha comprimento menor que
. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e padronização.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a distribuição normal é simétrica e definida por sua média (
) e desvio padrão (
), onde
é a raiz quadrada da variância. Aqui, a variância é
, então o desvio padrão é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
. Para isso, vamos padronizar essa variável transformando-a na variável padrão
da distribuição normal, que tem média
e desvio padrão
. A fórmula para padronização é:
Passo 4
Aplicando os valores que temos:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de
. Isso corresponde à área sob a curva da distribuição normal padrão à esquerda de
. Podemos usar uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora.
Passo 6
Consultando a tabela ou usando uma calculadora, encontramos que:
Resposta
A probabilidade de escolher um prego aleatoriamente com comprimento menor que
é aproximadamente
.