Seja c uma variável aleatória que representa o comprimento de pregos produzidos por uma certa máquina. Supondo que essa variável tenha distribuição normal com média 3,2 cm e variância de 0,25 cm^2, a probabilidade de escolher um prego aleatoriamente com comprimento maior que 3,6 cm é
A. 28,81 %
B. 71,19 %
C. 21,19 %
D. 78,81 %
Gabarito: C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ c $ que representa o comprimento de pregos produzidos por uma máquina. A distribuição desses comprimentos é normal, com média de $ 3,2 $ cm e variância de $ 0,25 $ cm². A pergunta é: qual a probabilidade de um prego escolhido aleatoriamente ter comprimento maior que $ 3,6 $ cm? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e cálculo de probabilidades usando a tabela Z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é simétrica e é completamente determinada pela sua média ($ \mu mu ã \sigma $). Aqui, temos $ \mu = 3,2 $ cm e a variância $ \sigma^2 = 0,25 $ cm², então o desvio padrão $ \sigma = \sqrt{0,25} = 0,5 $ cm.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ c > 3,6 $ cm. Para isso, vamos padronizar essa variável usando a fórmula do valor Z:
c > 3,6
Onde $ X = 3,6 $ cm, $ \mu = 3,2 $ cm e $ \sigma = 0,5 $ cm.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Z = 3,6 - 3,20,5 = 0,40,5 = 0,8
Então, $ Z = 0,8 $.

Passo 5

Com o valor de Z, consultamos a tabela da distribuição normal padrão (tabela Z) para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um certo valor. Buscando $ Z = 0,8 $, encontramos que $ P(Z < 0,8) \approx 0,7881 $ ou 78,81%.

Passo 6

Mas a questão pede a probabilidade de $ c > 3,6 $ cm, que corresponde a $ P(Z > 0,8) $. Sabemos que a soma das probabilidades é 1, então:
c > 3,6
Convertendo para porcentagem, temos 21,19%.

Resposta

A probabilidade de escolher um prego com comprimento maior que $ 3,6 $ cm é 21,19%.

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