Seja c uma variável aleatória que representa o comprimento de pregos produzidos por uma certa máquina. Supondo que essa variável tenha distribuição normal com média
e variância de
, a probabilidade de escolher um prego aleatoriamente com comprimento maior que
é
A.
B.
C.
D.
Gabarito: C
A.
B.
C.
D.
Gabarito: C
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória $ c $ que representa o comprimento de pregos produzidos por uma máquina. A distribuição desses comprimentos é normal, com média de $ 3,2 $ cm e variância de $ 0,25 $ cm². A pergunta é: qual a probabilidade de um prego escolhido aleatoriamente ter comprimento maior que $ 3,6 $ cm? Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal e cálculo de probabilidades usando a tabela Z.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é simétrica e é completamente determinada pela sua média ($ \mu
\sigma $). Aqui, temos $ \mu = 3,2 $ cm e a variância $ \sigma^2 = 0,25 $ cm², então o desvio padrão $ \sigma = \sqrt{0,25} = 0,5 $ cm.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ c > 3,6 $ cm. Para isso, vamos padronizar essa variável usando a fórmula do valor Z:
Onde $ X = 3,6 $ cm, $ \mu = 3,2 $ cm e $ \sigma = 0,5 $ cm.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Então, $ Z = 0,8 $.
Passo 5
Com o valor de Z, consultamos a tabela da distribuição normal padrão (tabela Z) para encontrar a probabilidade correspondente. A tabela nos dá a probabilidade de $ Z $ ser menor que um certo valor. Buscando $ Z = 0,8 $, encontramos que $ P(Z < 0,8) \approx 0,7881 $ ou 78,81%.
Passo 6
Mas a questão pede a probabilidade de $ c > 3,6 $ cm, que corresponde a $ P(Z > 0,8) $. Sabemos que a soma das probabilidades é 1, então:
Convertendo para porcentagem, temos 21,19%.
Resposta
A probabilidade de escolher um prego com comprimento maior que $ 3,6 $ cm é 21,19%.