Se todas as amostras possíveis de tamanho 16 são retiradas de uma população com média igual a 50 e desvio padrão igual a 5, qual é a probabilidade de que a média amostral barx estará em um intervalo de mubarx-1,9 sigmabarx a mubarx-0,4 sigmabarx? Assuma que as médias amostrais possam ser medidas em qualquer grau de precisão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma população com média 50 e desvio padrão 5. Queremos saber qual a chance da média de uma amostra de tamanho 16 cair entre mubarx - 1,9 sigmabarx e mubarx - 0,4 sigmabarx. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a média amostral ( barx). Quando pegamos uma amostra de uma população, a média dessas amostras forma uma distribuição própria, chamada de distribuição amostral da média. Essa distribuição tem algumas propriedades importantes:
  • Média da distribuição amostral ( mubarx) é igual à média da população ( mu). Então, mubarx = 50.
  • Desvio padrão da distribuição amostral ( sigmabarx) é igual ao desvio padrão da população ( sigma) dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra ( n). Então, sigmabarx = 5raiz16 = 54 = 1,25.

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de barx estar entre mubarx - 1,9 sigmabarx e mubarx - 0,4 sigmabarx. Vamos calcular esses valores:
  • mubarx - 1,9 sigmabarx = 50 - 1,9 times 1,25 = 50 - 2,375 = 47,625
  • mubarx - 0,4 sigmabarx = 50 - 0,4 times 1,25 = 50 - 0,5 = 49,5
Então, queremos P(47,625 < barx < 49,5).

Passo 4

Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar esses valores usando a pontuação Z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula para a pontuação Z é:
Z = barx - mubarxsigmabarx
Vamos calcular para os dois limites:
  • Para 47,625:
Z = 47,625 - 501,25 = -2,3751,25 = -1,9
  • Para 49,5:
Z = 49,5 - 501,25 = -0,51,25 = -0,4

Passo 5

Agora, queremos a probabilidade de Z estar entre -1,9 e -0,4, ou seja, P(-1,9 < Z < -0,4). Usando a tabela da distribuição normal:
  • P(Z < -0,4) approx 0,3446
  • P(Z < -1,9) approx 0,0287
A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas:
P(-1,9 < Z < -0,4) = P(Z < -0,4) - P(Z < -1,9) = 0,3446 - 0,0287 = 0,3159

Resposta

A probabilidade de que a média amostral barx esteja no intervalo especificado é de aproximadamente 31,6%.

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