Se todas as amostras possíveis de tamanho 16 são retiradas de uma população com média igual a 50 e desvio padrão igual a 5, qual é a probabilidade de que a média amostral
estará em um intervalo de
a
? Assuma que as médias amostrais possam ser medidas em qualquer grau de precisão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma população com média 50 e desvio padrão 5. Queremos saber qual a chance da média de uma amostra de tamanho 16 cair entre
e
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e probabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a média amostral (
). Quando pegamos uma amostra de uma população, a média dessas amostras forma uma distribuição própria, chamada de distribuição amostral da média. Essa distribuição tem algumas propriedades importantes:
- Média da distribuição amostral (
) é igual à média da população ( ). Então, . - Desvio padrão da distribuição amostral (
) é igual ao desvio padrão da população ( ) dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra ( ). Então, .
Passo 3
Agora, queremos a probabilidade de
estar entre
e
. Vamos calcular esses valores:
Então, queremos
.
Passo 4
Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar esses valores usando a pontuação Z, que nos ajuda a usar a tabela da distribuição normal padrão. A fórmula para a pontuação Z é:
Vamos calcular para os dois limites:
- Para 47,625:
- Para 49,5:
Passo 5
Agora, queremos a probabilidade de
estar entre -1,9 e -0,4, ou seja,
. Usando a tabela da distribuição normal:
A probabilidade que queremos é a diferença entre essas duas:
Resposta
A probabilidade de que a média amostral
esteja no intervalo especificado é de aproximadamente 31,6%.