Seja X uma variável aleatória que representa o número de ases em uma extração aleatória (sem reposição) de 4 cartas de um baralho usual de 52 cartas.
a) Construa uma tabela com a distribuição de probabilidade de X;
b) Faça o gráfico da distribuição de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória X que representa o número de ases em uma extração de 4 cartas de um baralho comum de 52 cartas, sem reposição. Isso está relacionado com a probabilidade e com combinações, que ajudam a calcular as chances de tirar 0, 1, 2, 3 ou 4 ases nesse tipo de sorteio.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantos ases há em um baralho. Um baralho comum tem 4 ases. Então, temos 4 ases e 48 cartas que não são ases, totalizando 52 cartas.

Passo 3

Vamos construir a distribuição de probabilidade de X , ou seja, calcular P(X = k) para k = 0, 1, 2, 3, 4 . Para isso, usamos a fórmula da distribuição hipergeométrica:
P(X = k) = dbinom4k times dbinom484 - kdbinom524
Aqui, dbinomnk representa a combinação de n elementos escolhidos k a k.

Passo 4

Vamos calcular cada probabilidade:
  • Para k = 0 :
P(X = 0) = dbinom40 times dbinom484dbinom524 = 1 times 194,580270,725 approx 0.7187
  • Para k = 1 :
P(X = 1) = dbinom41 times dbinom483dbinom524 = 4 times 17,296270,725 approx 0.2552
  • Para k = 2 :
P(X = 2) = dbinom42 times dbinom482dbinom524 = 6 times 1,128270,725 approx 0.0250
  • Para k = 3 :
P(X = 3) = dbinom43 times dbinom481dbinom524 = 4 times 48270,725 approx 0.0007
  • Para k = 4 :
P(X = 4) = dbinom44 times dbinom480dbinom524 = 1 times 1270,725 approx 0.000004

Passo 5

Agora, vamos montar a tabela com esses resultados:
Número de Ases X Probabilidade P(X)
0 0,7187
1 0,2552
2 0,0250
3 0,0007
4 0,000004

Passo 6

Para a parte b) do exercício, vamos fazer o gráfico dessa distribuição. Você pode usar um software de planilhas como o Excel ou o Google Sheets. Basta colocar os valores de X no eixo horizontal e as probabilidades correspondentes no eixo vertical, criando colunas ou barras para representar cada probabilidade.

Resposta

A distribuição de probabilidade de X está representada na tabela acima, e o gráfico pode ser construído utilizando esses valores, mostrando as chances de tirar 0, 1, 2, 3 ou 4 ases em uma extração de 4 cartas de um baralho.

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