Uma comissão de 3 membros deve ser escolhida a partir de um grupo formado por 5 homens e 6 mulheres.
Defina a v.a. X= número de mulheres na comissão.
a) Obtenha função de distribuição de probabilidade de X.
b) Calcule E(X) e V A R(X).
c) Determine a função de distribuição acumulada da v.a. X.

Passo 1

O enunciado diz que vamos formar uma comissão de tamanho 3 a partir de um grupo com 5 homens e 6 mulheres. Definimos a v.a. X como o número de mulheres na comissão. O conteúdo aqui é de contagem e distribuição hipergeométrica, pois estamos escolhendo sem reposição de uma população finita.

Passo 2

O número total de maneiras de escolher 3 pessoas dentre as 11 é
binom113,
Para termos exatamente k mulheres ( k=0,1,2,3) escolhemos k das 6 mulheres e 3-k dos 5 homens. Logo
P(X=k) = binom6k,binom53-k binom113 ,, k=0,1,2,3

Passo 3

Para a distribuição hipergeométrica tem-se
E(X)=n;KN
onde N=11, K=6 (mulheres na população) e n=3. Assim,
E(X)=3cdot611=1811

Passo 4

A variância na hipergeométrica é
Var(X) =n;KN;N-KN;N-nN-1
Substituindo N=11, K=6, n=3,
Var(X) =3cdot611cdot511cdot810 =72121

Passo 5

A função de distribuição acumulada F(x)=P(X<= x) é dada em partes:
F(x)= 0, & x<0, P(X=0), & 0<= x<1, P(X=0)+P(X=1), & 1<= x<2, P(X=0)+P(X=1)+P(X=2), & 2<= x<3, 1, & x>=3
Usando os valores
P(X=0)=binom60binom53binom113 =233, P(X=1)=binom61binom52binom113 =411,
P(X=2)=binom62binom51binom113 =511, P(X=3)=binom63binom50binom113 =433,
temos explicitamente
F(x)= 0, & x<0, tfrac233, & 0<= x<1, tfrac233+tfrac411=tfrac1433, & 1<= x<2, tfrac1433+tfrac511=tfrac2933, & 2<= x<3, 1, & x>=3

Resposta

a) P(X=k)= binom6k,binom53-kbinom113, para k=0,1,2,3.
b) E(X)=tfrac1811 e Var(X)=tfrac72121
c)
F(x)= 0, & x<0, tfrac233, & 0<= x<1, tfrac1433, & 1<= x<2, tfrac2933, & 2<= x<3, 1, & x>=3

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