A tabela abaixo apresenta a função de distribuição de uma variável aleatória
. Determine:
1
2
3
4
1
a) A distribuição de probabilidade de
.
b) Calcule
.
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1 | 2 | 3 | 4 |
|
|
|
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1 |
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela que mostra a função de distribuição acumulada (F_X(x)) de uma variável aleatória
. A gente vai precisar entender um pouco de probabilidade e como passar da função de distribuição acumulada para a distribuição de probabilidade. Depois, vamos calcular algumas probabilidades específicas com base nessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada
. Ela nos diz a probabilidade de que a variável aleatória
seja menor ou igual a um determinado valor
. A tabela dada é:
[
]
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1 | 2 | 3 | 4 |
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1 |
Passo 3
Para encontrar a distribuição de probabilidade de
, que é a função massa de probabilidade (PMF), precisamos calcular as probabilidades de cada valor individual de
.
A PMF é dada por:
onde
é o limite da função de distribuição acumulada quando
se aproxima por valores menores.
Passo 4
Vamos calcular
para cada valor de
:
- Para
:
pois
já que
começa em 1.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Agora que temos as probabilidades individuais, podemos resumir a distribuição de probabilidade de
:
[
]
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1 | 2 | 3 | 4 |
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Passo 6
Agora, vamos calcular as probabilidades solicitadas:
a) A distribuição de probabilidade de
já está feita acima.
b) Vamos calcular:
Passo 7
Para
:
Isso significa a probabilidade de
ser 1, 2 ou 3. Usando a PMF:
Passo 8
Para
:
Isso inclui
. Então:
Passo 9
Para
:
Como
só pode assumir valores inteiros (1, 2, 3, 4),
é o mesmo que
. Portanto:
Resposta
a) A distribuição de probabilidade de
é:
[
]
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1 | 2 | 3 | 4 |
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b) As probabilidades são: