A tabela abaixo apresenta a função de distribuição de uma variável aleatória . Determine:
1 2 3 4
1
a) A distribuição de probabilidade de .
b) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma tabela que mostra a função de distribuição acumulada (F_X(x)) de uma variável aleatória X . A gente vai precisar entender um pouco de probabilidade e como passar da função de distribuição acumulada para a distribuição de probabilidade. Depois, vamos calcular algumas probabilidades específicas com base nessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função de distribuição acumulada . Ela nos diz a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um determinado valor . A tabela dada é:
[
1 2 3 4
1
]

Passo 3

Para encontrar a distribuição de probabilidade de X , que é a função massa de probabilidade (PMF), precisamos calcular as probabilidades de cada valor individual de X .
A PMF é dada por:
P(X = x) = FX(x) - FX(x^-)
onde FX(x^-) é o limite da função de distribuição acumulada quando x se aproxima por valores menores.

Passo 4

Vamos calcular P(X = x) para cada valor de x :
  • Para x = 1 :
P(X = 1) = FX(1) - FX(0) = 18 - 0 = 18
pois FX(0) = 0 já que X começa em 1.
  • Para x = 2 :
P(X = 2) = FX(2) - FX(1) = 38 - 18 = 28 = 14
  • Para x = 3 :
P(X = 3) = FX(3) - FX(2) = 34 - 38 = 38
  • Para x = 4 :
P(X = 4) = FX(4) - FX(3) = 1 - 34 = 14

Passo 5

Agora que temos as probabilidades individuais, podemos resumir a distribuição de probabilidade de :
[
1 2 3 4
]

Passo 6

Agora, vamos calcular as probabilidades solicitadas:
a) A distribuição de probabilidade de X já está feita acima.
b) Vamos calcular:
  • P(1 <= X <= 3)
  • P(2 <= X)
  • P(X > 1.4)

Passo 7

Para P(1 <= X <= 3) :
Isso significa a probabilidade de X ser 1, 2 ou 3. Usando a PMF:
P(1 <= X <= 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 18 + 14 + 38 = 1 + 2 + 38 = 68 = 34

Passo 8

Para P(2 <= X) :
Isso inclui X = 2, 3, 4 . Então:
P(2 <= X) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 14 + 38 + 14 = 2 + 3 + 28 = 78

Passo 9

Para P(X > 1.4) :
Como X só pode assumir valores inteiros (1, 2, 3, 4), X > 1.4 é o mesmo que X >= 2 . Portanto:
P(X > 1.4) = P(X >= 2) = P(2 <= X) = 78

Resposta

a) A distribuição de probabilidade de é:
[
1 2 3 4
]
b) As probabilidades são:

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