O tempo que um paciente aguarda, em horas, para ser atendido em um pronto socorro de um determinadò hospital pode ser considerado uma variável aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=ccc 0 & para & x<2 2 / 3 & para & 2 <= x<3 (8-2 x) / 3 & para & 3 <= x<4 0 & para & x >= 4
(10^0 a) Determine a função distribuição acumulada de X.
para x<2 f(x)=0
para 2 <= x<3 f(x)=integral2^x 23 d x f(x)=23 x|2 ^x f(x)=2 x3 - 43
para 3 <= x<4 f(x)=2 cdot 33-43+integral3^x (8-2 x)3 d x = 2-43+integral3^x 83 d x-integral3^x 2 x3 d x
l = 2-43+8 x3|3 ^x-23 cdot(x^22)|3 ^x= 2-43+8 x3-8-23 cdot(x^22-92) therefore 2-43+8 x3-8-2 x^23cdot2+23 cdot 92= 2-43+8 x3-8-x^23+3 = 6-4+8 x-24-x^2+93 =8 x-x^2-133 8cdot4-4 cdot 4-133 32-16-133=33=1
b) Determine a mediana.
Para determinar a mediana, precisamos encontrar o valor de x tal que a área sob a função densidade de probabilidade até x seja igual a 0.5. Usando a função distribuição acumulada calculada no item a):
mediainar área 2 = 12á

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre quanto tempo um paciente espera para ser atendido em um pronto socorro, representado pela variável aleatória contínua X . A gente precisa encontrar duas coisas:
a) A função distribuição acumulada de X , que mostra a probabilidade de o tempo de espera ser menor ou igual a um certo valor.
b) A mediana dessa distribuição, que é o tempo em que metade dos pacientes é atendida mais rápido e metade espera mais.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais para calcular a função acumulada e depois achar o ponto onde essa função é igual a 0,5 para a mediana.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a) e construir a função distribuição acumulada F(x) . Sabemos que F(x) é a integral da função densidade de probabilidade f(x) de menos infinito até x . Mas como f(x) é zero fora de 2 <= x < 4 , vamos considerar somente esse intervalo.

Passo 3

Para construir F(x) , vamos dividir em três casos conforme os intervalos de x :
  1. Para x < 2 :
    • A função densidade f(x) = 0 , então a probabilidade acumulada também é zero.
F(x) = 0
  1. Para 2 <= x < 3 :
    • Aqui, f(x) = 23 . Vamos integrar de 2 até x :
F(x) = integral2^x 23 , dx = 23x - 23 cdot 2 = 2x3 - 43
Simplificando:
F(x) = 2x - 43
  1. Para 3 <= x < 4 :
    • Aqui, f(x) = 8 - 2x3 . Primeiro, calculamos F(3) usando o intervalo anterior:
F(3) = 2 cdot 3 - 43 = 6 - 43 = 23
Agora, integramos de 3 até x :
F(x) = F(3) + integral3^x 8 - 2t3 , dt
Fazendo a integral:
F(x) = 23 + [ 8t3 - 2t^26 ]3^x
Simplificando:
F(x) = 23 + 8x3 - x^23 - ( 243 - 93 ) = 8x - x^2 - 133
  1. Para x >= 4 :
    • A função densidade volta a ser zero, e a probabilidade acumulada é 1.
F(x) = 1

Passo 4

Juntando tudo, a função distribuição acumulada F(x) fica assim:
F(x) = 0 & para x < 2 2x - 43 & para 2 <= x < 3 8x - x^2 - 133 & para 3 <= x < 4 1 & para x >= 4

Passo 5

Agora, vamos para a parte b) e encontrar a mediana. A mediana é o valor de x onde a probabilidade acumulada F(x) é igual a 0,5. Ou seja, queremos resolver F(x) = 0,5 .
Primeiro, identificamos em qual intervalo a mediana está. Observando F(x) :
  • Para x = 3 , F(3) = 23 que é aproximadamente 0,666.
  • Como 0,5 está entre F(2) = 0 e F(3) = 23 , a mediana está no intervalo 2 <= x < 3 .
Então, usamos a expressão de F(x) nesse intervalo:
2x - 43 = 0,5
Multiplicando ambos os lados por 3:
2x - 4 = 1,5
Somando 4:
2x = 5,5
Dividindo por 2:
x = 2,75

Resposta

A mediana da distribuição é x = 2,75 horas.

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