O tempo que um paciente aguarda, em horas, para ser atendido em um pronto socorro de um determinadò hospital pode ser considerado uma variável aleatória contínua X com função densidade de probabilidade dada por:
(10^0 a) Determine a função distribuição acumulada de X.
para x<2 f(x)=0
para 2 <= x<3 f(x)=integral2^x 23 d x f(x)=23 x|2 ^x f(x)=2 x3 - 43
para 3 <= x<4 f(x)=2 cdot 33-43+integral3^x (8-2 x)3 d x = 2-43+integral3^x 83 d x-integral3^x 2 x3 d x
b) Determine a mediana.
Para determinar a mediana, precisamos encontrar o valor de x tal que a área sob a função densidade de probabilidade até x seja igual a 0.5. Usando a função distribuição acumulada calculada no item a):
mediainar área 2 = 12á
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre quanto tempo um paciente espera para ser atendido em um pronto socorro, representado pela variável aleatória contínua X . A gente precisa encontrar duas coisas:
a) A função distribuição acumulada de X , que mostra a probabilidade de o tempo de espera ser menor ou igual a um certo valor.
b) A mediana dessa distribuição, que é o tempo em que metade dos pacientes é atendida mais rápido e metade espera mais.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais para calcular a função acumulada e depois achar o ponto onde essa função é igual a 0,5 para a mediana.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a) e construir a função distribuição acumulada F(x) . Sabemos que F(x) é a integral da função densidade de probabilidade f(x) de menos infinito até x . Mas como f(x) é zero fora de 2 <= x < 4 , vamos considerar somente esse intervalo.
Passo 3
Para construir F(x) , vamos dividir em três casos conforme os intervalos de x :
Para x < 2 :
A função densidade f(x) = 0 , então a probabilidade acumulada também é zero.
A função densidade volta a ser zero, e a probabilidade acumulada é 1.
F(x) = 1
Passo 4
Juntando tudo, a função distribuição acumulada F(x) fica assim:
F(x) = 0 & para x < 2 2x - 43 & para 2 <= x < 3 8x - x^2 - 133 & para 3 <= x < 4 1 & para x >= 4
Passo 5
Agora, vamos para a parte b) e encontrar a mediana. A mediana é o valor de x onde a probabilidade acumulada F(x) é igual a 0,5. Ou seja, queremos resolver F(x) = 0,5 .
Primeiro, identificamos em qual intervalo a mediana está. Observando F(x) :
Para x = 3 , F(3) = 23 que é aproximadamente 0,666.
Como 0,5 está entre F(2) = 0 e F(3) = 23 , a mediana está no intervalo 2 <= x < 3 .
Então, usamos a expressão de F(x) nesse intervalo: