Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de distribuição acumulada:
\mathrm{F}(\mathrm{x})= \begin{cases}0, & \text { se } \mathrm{x}<-2 \\\\ 1 / 5, & \text { se }-2 \leq \mathrm{x}<-1,5 \\\\ 1 / 2, & \text { se }-1,5 \leq \mathrm{x}<-1 \\\\ 3 / 5, & \text { se }-1 \leq \mathrm{x}<1 \\\\ 1, & \text { se } \mathrm{x} \geq 1\end{cases}
Calcule:
a probabilidade de X ser um número inteiro;

Passo 1

O enunciado dá a função de distribuição acumulada \mathrm F(x) de X, que é uma variável aleatória discreta, e pede a probabilidade de X ser número inteiro. Vamos usar o fato de que, para variável discreta,
P(X=x)=F(x)-\lim_{t\to x^-}F(t),
isto é, a probabilidade em cada ponto é o tamanho do salto (jump) da CDF naquele ponto.

Passo 2

Identificamos os pontos de salto da CDF, que são os valores onde \mathrm F(x) aumenta de um patamar para outro. Pelos intervalos dados, os saltos ocorrem em
x=-2,\quad x=-1,5,\quad x=-1,\quad x=1.

Passo 3

Calculamos o tamanho de cada salto, que é P(X=x):
Para x=-2:
P(X=-2)=F(-2)-F((-2)^-)=\tfrac15-0=\tfrac15.
Para x=-1{,}5:
P(X=-1{,}5)=F(-1{,}5)-F((-1{,}5)^-)=\tfrac12-\tfrac15=\tfrac{5-2}{10}=\tfrac3{10}.
Para x=-1:
P(X=-1)=F(-1)-F((-1)^-)=\tfrac35-\tfrac12=\tfrac{6-5}{10}=\tfrac1{10}.
Para x=1:
P(X=1)=F(1)-F(1^-)=1-\tfrac35=\tfrac25.

Passo 4

Agora queremos P(X\in\mathbb Z). Dos saltos encontrados, os valores inteiros são x=-2, x=-1 e x=1. Não há salto em 0 nem em outros inteiros. Logo,
P(X\in\mathbb Z) =P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=1) =\tfrac15+\tfrac1{10}+\tfrac25.

Passo 5

Somando as frações:
\tfrac15+\tfrac1{10}+\tfrac25 =\tfrac{2}{10}+\tfrac1{10}+\tfrac{4}{10} =\tfrac7{10}.

Resposta

A probabilidade de X ser um número inteiro é \tfrac7{10}.

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