Seja
uma variável aleatória tal que
. Dada uma amostra
de tamanho
da variável
um possível estimador para o parâmetro
é dado por
em que
denota a média aritmética amostral. Determine o viés de
assumindo
e
. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. A gente tem uma amostra de tamanho $ n = 33 $ dessa variável e um estimador para $ \sigma^{2} $ que é dado por:
O objetivo é encontrar o viés desse estimador, assumindo que $ \sigma = 1,33 $. Mas calma, a gente vai explicar tudo passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é viés. O viés de um estimador é a diferença entre o valor esperado do estimador e o verdadeiro valor do parâmetro que estamos tentando estimar. Matematicamente, é dado por:
A gente precisa calcular esse viés para o nosso estimador $ \hat{\sigma}^{2} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \mathbb{E}(\hat{\sigma}^{2}) $, ou seja, o valor esperado do nosso estimador. Sabemos que:
Isso acontece porque, quando usamos $ n $ no denominador, estamos subestimando um pouquinho a variância verdadeira. Se usássemos $ n-1 $, seria um estimador não viciado.
Passo 4
Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Sabemos que $ \sigma = 1,33 $ e $ n = 33 $. Primeiro, calculamos $ \sigma^{2} $:
Então, o valor esperado do estimador é:
Passo 5
Vamos calcular $ \frac{32}{33} \times 1,7689 $:
Agora, o viés é:
Resposta
O viés do estimador $ \hat{\sigma}^{2} $ é aproximadamente $ -0,0546 $.