Seja X uma variável aleatória tal que E(X)=mu e V(X)=sigma^2. Dada uma amostra X=(X1, ldots, Xn) de tamanho n da variável X um possível estimador para o parâmetro sigma^2 é dado por
sigma^2=1n sumi=1^n(Xi-barX)^2
em que barX denota a média aritmética amostral. Determine o viés de sigma^2 assumindo sigma=1,33 e n=33. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma variável aleatória $ X $ com média $ \mu $ e variância $ \sigma^{2} $. A gente tem uma amostra de tamanho $ n = 33 $ dessa variável e um estimador para $ \sigma^{2} $ que é dado por:
X
O objetivo é encontrar o viés desse estimador, assumindo que $ \sigma = 1,33 $. Mas calma, a gente vai explicar tudo passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é viés. O viés de um estimador é a diferença entre o valor esperado do estimador e o verdadeiro valor do parâmetro que estamos tentando estimar. Matematicamente, é dado por:
Viés = E(sigma^2) - sigma^2 é
A gente precisa calcular esse viés para o nosso estimador $ \hat{\sigma}^{2} $.

Passo 3

Vamos calcular $ \mathbb{E}(\hat{\sigma}^{2}) $, ou seja, o valor esperado do nosso estimador. Sabemos que:
E(sigma^2)
Isso acontece porque, quando usamos $ n $ no denominador, estamos subestimando um pouquinho a variância verdadeira. Se usássemos $ n-1 $, seria um estimador não viciado.

Passo 4

Agora, vamos aplicar isso ao nosso caso. Sabemos que $ \sigma = 1,33 $ e $ n = 33 $. Primeiro, calculamos $ \sigma^{2} $:
sigma = 1,33
Então, o valor esperado do estimador é:
n = 33

Passo 5

Vamos calcular $ \frac{32}{33} \times 1,7689 $:
3233 times 1,7689
Agora, o viés é:
3233 times 1,7689 approx 1,7143 é

Resposta

O viés do estimador $ \hat{\sigma}^{2} $ é aproximadamente $ -0,0546 $.

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