Suponha que a duração (em minutos) do atendimento aos clientes em uma agência bancária seja uma variável aleatória Exponencial com média 10,19. Considere a situação na qual você está aguardando na fila e a pessoa imediatamente à sua frente acaba de ser chamada para ser atendida. Nesse contexto, qual a probabilidade de que você tenha de esperar entre 4 e 8 minutos para ser atendido? Utilize quatro casas decimais para arredondamento.

Passo 1

Vamos lá! Você tem um exercício que envolve a distribuição exponencial, que é usada para modelar o tempo entre eventos em um processo contínuo. Nesse caso, estamos falando do tempo de atendimento em uma agência bancária. A média desse tempo é de 10,19 minutos. Precisamos descobrir qual a probabilidade de você esperar entre 4 e 8 minutos para ser atendido após a pessoa na sua frente começar o atendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição exponencial. A média (μ) da distribuição exponencial está relacionada à taxa (λ) pela fórmula:
lambda = 1mu
Onde:
  • μ é a média (10,19 minutos)
  • λ é a taxa que precisamos calcular

Passo 3

Calculando a taxa λ:
lambda = 110,19 approx 0,0982 , min^-1

Passo 4

Agora, vamos usar a função de distribuição acumulada (F) da distribuição exponencial, que nos dá a probabilidade de o tempo de espera ser menor ou igual a um certo valor. A função é dada por:
F(x) = 1 - e^-lambda x
Queremos a probabilidade de o tempo de espera estar entre 4 e 8 minutos, ou seja:
P(4 <= X <= 8) = F(8) - F(4)

Passo 5

Calculando $ F(8) $:
F(8)

Passo 6

Calculando $ F(4) $:
F(4)

Passo 7

Agora, subtraindo as duas probabilidades para encontrar a probabilidade desejada:
P(4 <= X <= 8) = 0,5439 - 0,3256 = 0,2183

Resposta

A probabilidade de você esperar entre 4 e 8 minutos para ser atendido é aproximadamente 0,2183 ou 21,83%.

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