Seja
uma variável aleatória tal que
. Dada uma amostra
de tamanho
da variável
um possível estimador para o parâmetro
é dado por
Determine o viés de
assumindo
. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ onde a expectativa e a variância são iguais e valem $ \theta $. A partir de uma amostra dessa variável, foi proposto um estimador para $ \theta $ que é a média dos quadrados das observações. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o viés desse estimador quando $ \theta = 9,94 $. Para isso, vamos precisar entender o que é viés de um estimador e como calcular a expectativa dessa média dos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o viés de um estimador. O viés de um estimador $ \hat{\theta} $ é definido como a diferença entre a expectativa de $ \hat{\theta} $ e o verdadeiro valor do parâmetro $ \theta $. Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a expectativa do nosso estimador $ \hat{\theta} $:
A expectativa da média é igual à média das expectativas, então temos:
Passo 4
Para encontrar $ \mathbb{E}(X^{2}) $, vamos lembrar de uma propriedade importante que relaciona a variância e a expectativa:
Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ \mathbb{E}(X^{2}) $:
Passo 5
Sabemos que $ \mathbb{E}(X) = \theta $ e $ \mathbb{V}(X) = \theta $. Substituindo esses valores na equação, temos:
Passo 6
Voltando à expectativa do estimador:
Passo 7
Agora, aplicando a fórmula do viés:
Resposta
O viés do estimador $ \hat{\theta} $ quando $ \theta = 9,94 $ é: