Seja X uma variável aleatória tal que E(X)=V(X)=theta. Dada uma amostra X=(X1, ldots, Xn) de tamanho n da variável X um possível estimador para o parâmetro theta é dado por
theta=1n sumi=1^n Xi^2
Determine o viés de theta assumindo theta=9,94. Utilize quatro casas decimais para arredondamento.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ onde a expectativa e a variância são iguais e valem $ \theta $. A partir de uma amostra dessa variável, foi proposto um estimador para $ \theta $ que é a média dos quadrados das observações. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o viés desse estimador quando $ \theta = 9,94 $. Para isso, vamos precisar entender o que é viés de um estimador e como calcular a expectativa dessa média dos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o viés de um estimador. O viés de um estimador $ \hat{\theta} $ é definido como a diferença entre a expectativa de $ \hat{\theta} $ e o verdadeiro valor do parâmetro $ \theta $. Matematicamente, fica assim:
theta é

Passo 3

Agora, precisamos calcular a expectativa do nosso estimador $ \hat{\theta} $:
theta
A expectativa da média é igual à média das expectativas, então temos:
theta = 1n sumi=1^n Xi^2

Passo 4

Para encontrar $ \mathbb{E}(X^{2}) $, vamos lembrar de uma propriedade importante que relaciona a variância e a expectativa:
E(X^2)
Podemos rearranjar essa equação para encontrar $ \mathbb{E}(X^{2}) $:
V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Passo 5

Sabemos que $ \mathbb{E}(X) = \theta $ e $ \mathbb{V}(X) = \theta $. Substituindo esses valores na equação, temos:
E(X) = theta

Passo 6

Voltando à expectativa do estimador:
E(theta) = theta + theta^2

Passo 7

Agora, aplicando a fórmula do viés:
Viés(theta) = E(theta) - theta = (theta + theta^2) - theta = theta^2 é

Resposta

O viés do estimador $ \hat{\theta} $ quando $ \theta = 9,94 $ é:
theta é

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