Seja a variável bidimensional (X, Y) com função de densidade conjunta
f(x, y)=l c x y, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 0, caso contrário á
Encontre o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, tamo com uma variável bidimensional f(x,y)= c,x,y,&0<= x<=1,;0<= y<=1, 0,&caso contrário cuja densidade conjunta é
Var(X)&Cov(X,Y)Cov(X,Y)&Var(Y)á
Queremos encontrar o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias

Conteúdo envolvido:
  • Normalizar a densidade (achar com integral dupla).
  • Cálculo de esperança: .
  • Cálculo de variância: .
  • Cálculo de covariância: .

Passo 2

Primeiro a gente normaliza 1=integral dupla0^1c,x,y,dx,dy = c!integral0^1!x,dx;integral0^1!y,dy = c;l[tfracx^22r]0^1;l[tfracy^22r]0^1 = c;12;12 = c4 . Como a integral de sobre todo o domínio tem que dar 1, fazemos
Logo . A densidade fica em .

Passo 3

Agora vamos achar E[X]=integral dupla0^1 x,f(x,y),dx,dy =integral dupla0^1 x,(4xy),dx,dy =4integral0^1x^2l(integral0^1y,dyr)dx =4integral0^1x^2cdot12,dx =2integral0^1x^2,dx =2cdotx^33|0^1 =23 . Por definição,

Passo 4

De modo idêntico, por simetria,
E[Y] =integral dupla y,(4xy),dx,dy =4integral0^1y^2l(integral0^1x,dxr)dy =4integral0^1y^2cdot12,dy =2integral0^1y^2,dy =23

Passo 5

Para calcular e precisamos de E[X^2] =integral dupla x^2,(4xy),dx,dy =4integral0^1x^3l(integral0^1y,dyr)dx =4integral0^1x^3cdot12,dx =2integral0^1x^3,dx =2cdotx^44|0^1 =12 e Var(X)=E[X^2]-(E[X])^2 =12-l(23r)^2 =12-49 =9-818 =118 :
Assim
E, de novo por simetria, .

Passo 6

Falta a covariância . Primeiro E[XY] =integral dupla xy,(4xy),dx,dy =4integral0^1x^2l(integral0^1y^2,dyr)dx =4integral0^1x^2cdot13,dx =43integral0^1x^2,dx =43cdot13 =49 :
Cov(X,Y) =E[XY]-E[X],E[Y] =49-23cdot23 =49-49 =0
Então

Resposta

Vetor de médias:
l(E[X],E[Y]r) =l(tfrac23,tfrac23r)
Matriz de variâncias e covariâncias:
[

Var(X)&Cov(X,Y)[6pt] Cov(X,Y)&Var(Y) = tfrac118&0[6pt] 0&tfrac118 .
]

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