Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l k e^-(x+2 y), x>0, y>0 0, caso contrário á
Escreva o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de (X, Y).

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos uma variável bidimensional f(x,y)= k,e^-(x+2y),&x>0,;y>0, 0,&caso contrário com densidade
Var(X)&Cov(X,Y)Cov(Y,X)&Var(Y)á
O que a gente precisa achar é o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias

Para isso, vamos precisar:
  1. Determinar normalizando a densidade;
  2. Obter as densidades marginais de e ;
  3. Usar fórmulas de média e variância de exponencial;
  4. Verificar a independência pra calcular a covariância.

Passo 2

Primeiro, achamos integral duplaR^2f(x,y),dx,dy =integral0^infty!integral0^infty k,e^-(x+2y),dx,dy =1 exigindo que
Como separa em produto,
integral0^infty e^-xdx=1, integral0^infty e^-2ydy=12,
então
kcdot 1cdot12=1 ;Longrightarrow; k=2

Passo 3

Agora as marginais:
  • Para fX(x)=integral0^infty 2,e^-(x+2y)dy =2,e^-xintegral0^infty e^-2ydy =2,e^-xcdot12 =e^-x,;x>0 , fY(y)=integral0^infty 2,e^-(x+2y)dx =2,e^-2yintegral0^infty e^-xdx =2,e^-2ycdot1 =2,e^-2y,;y>0, Isso é a lei .
  • Para , que é .

Passo 4

Fórmulas de exponencial:
  • Se E[Z]=1lambda, Var(Z)=1lambda^2 , então
Logo

Passo 5

Note que a densidade conjunta fatorou em Cov(X,Y)=0 , ou seja, e são independentes. Assim

Resposta

Vetor de médias:
l(E[X],E[Y]r) = l(1,tfrac12r)
Matriz de variâncias e covariâncias:
[

Var(X)&Cov(X,Y)[6pt] Cov(Y,X)&Var(Y) = 1 & 0[6pt] 0 & tfrac14 .
]

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