Seja a variável bidimensional
com função densidade de probabilidade
Escreva o vetor de médias e a matriz de variâncias e covariâncias de
.
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos uma variável bidimensional
com densidade
O que a gente precisa achar é o vetor de médias
e a matriz de variâncias e covariâncias
Para isso, vamos precisar:
Para isso, vamos precisar:
- Determinar
normalizando a densidade; - Obter as densidades marginais de
e ; - Usar fórmulas de média e variância de exponencial;
- Verificar a independência pra calcular a covariância.
Passo 2
Primeiro, achamos
exigindo que
Como separa em produto,
então
Passo 3
Agora as marginais:
- Para
, Isso é a lei . - Para
, que é .
Passo 4
Fórmulas de exponencial:
- Se
, então
Logo
Passo 5
Note que a densidade conjunta fatorou em
, ou seja,
e
são independentes. Assim
Resposta
Vetor de médias:
Matriz de variâncias e covariâncias:
[
]