Seja a variável bidimensional (X, Y) com função distribuição de probabilidade
P(X=x, Y=y)=l k(x y), x=1,2,3, y=1,2 0, caso contrário á
X e Y são correlacionadas?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma variável discreta bidimensional com
para e , e zero caso contrário.
Conteúdo: probabilidade discreta, cálculo de constantes de normalização, marginais, esperança, covariância e correlação.
O que vamos precisar:
  1. Achar via .
  2. Calcular as distribuições marginais e .
  3. Calcular , e .
  4. Calcular e ver se é zero.

Passo 2

Normalização de sumx=1^3sumy=1^2 P(x,y) = sumx=1^3sumy=1^2 k,x,y = k;l(sumx=1^3 xr),l(sumy=1^2 yr) = k,(1+2+3),(1+2) = kcdot6cdot3 =18k :
18k = 1 Longrightarrow k = 118
Para isso ser 1, precisamos de

Passo 3

Distribuições marginais:
  • Para PX(x)=sumy=1^2 P(x,y) = sumy=1^2 118,x,y = 118,x,(1+2) = 3x18 = x6 : PY(y)=sumx=1^3 P(x,y) = sumx=1^3 118,x,y = 118,y,(1+2+3) = 6y18 = y3
  • Para :

Passo 4

Esperanças:
  • E[X] = sumx=1^3 x,PX(x) = sumx=1^3 xcdotx6 = 16,(1^2+2^2+3^2) = 1+4+96 = 146 = 73 : E[Y] = sumy=1^2 y,PY(y) = sumy=1^2 ycdoty3 = 13,(1^2+2^2) = 53
  • E[XY] = sumx=1^3sumy=1^2 x,y,P(x,y) = sumx=1^3sumy=1^2 x,ycdot118,x,y = 118sumx=1^3 x^2 sumy=1^2 y^2 = 118,(1+4+9),(1+4) = 14cdot518 = 7018 = 359 :
  • :

Passo 5

Covariância e conclusão sobre correlação:
Cov(X,Y) = E[XY] - E[X],E[Y] = 359 - 73cdot53 = 359 - 359 = 0
Como , o coeficiente de correlação é zero e dizemos que e não são correlacionadas.

Resposta

Não, e não são correlacionadas, pois .

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