Seja a variável bidimensional
com função de densidade conjunta
Encontre o valor de
para que a função acima seja realmente uma função densidade de probabilidade.
Passo 1
Beleza! A pergunta diz que temos uma variável bidimensional
com função de densidade
e pede pra achar o valor de
(às vezes escrito
) de modo que isso seja de fato uma densidade de probabilidade.
Conteúdo: teoria de variáveis aleatórias contínuas e suas funções de densidade conjunta.
O que a gente precisa: lembrar que a integral dupla de uma densidade deve dar 1, e então resolver essa integral para encontrar .
Conteúdo: teoria de variáveis aleatórias contínuas e suas funções de densidade conjunta.
O que a gente precisa: lembrar que a integral dupla de uma densidade deve dar 1, e então resolver essa integral para encontrar
Passo 2
Primeiro, a regra básica: toda densidade conjunta
precisa satisfazer
No nosso caso, a região onde
é não-nula é o quadrado
. Logo, a gente impõe
Passo 3
Agora, vamos calcular essa integral passo a passo. Como o integrando separa em
e
, dá pra escrever:
Passo 4
Calculando cada parte:
Então a integral total fica
Passo 5
A gente precisa que isso dê 1, ou seja