Seja a variável bidimensional (X, Y) com função de densidade conjunta
f(x, y)=l c x y, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 0, caso contrário á
Encontre o valor de k para que a função acima seja realmente uma função densidade de probabilidade.

Passo 1

Beleza! A pergunta diz que temos uma variável bidimensional f(x,y)= c,x,y, & 0<= x<=1,;0<= y<=1, 0, & caso contrário, com função de densidade
á
e pede pra achar o valor de (às vezes escrito ) de modo que isso seja de fato uma densidade de probabilidade.
Conteúdo: teoria de variáveis aleatórias contínuas e suas funções de densidade conjunta.
O que a gente precisa: lembrar que a integral dupla de uma densidade deve dar 1, e então resolver essa integral para encontrar .

Passo 2

Primeiro, a regra básica: toda densidade conjunta integral duplaR^2 f(x,y),dx,dy = 1 precisa satisfazer
integral0^1!integral0^1 c,x,y ;dx,dy ;=;1
No nosso caso, a região onde é não-nula é o quadrado . Logo, a gente impõe

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral passo a passo. Como o integrando separa em integral0^1!integral0^1 c,x,y;dx,dy = c;l(integral0^1 x,dxr);l(integral0^1 y,dyr) e , dá pra escrever:

Passo 4

Calculando cada parte:
integral0^1 x,dx = [x^22]0^1 = 12, integral0^1 y,dy = [y^22]0^1 = 12
Então a integral total fica
c times 12 times 12 = c times 14

Passo 5

A gente precisa que isso dê 1, ou seja
c ,14 = 1 Longrightarrow c = 4

Resposta

.

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