Seja a variável bidimensional (X, Y) com função distribuição de probabilidade
P(X=x, Y=y)=l k(x+y), x=1,2,3, y=1,2 0, caso contrário á
Encontre o valor de k para que a função acima seja realmente uma função distribuição de probabilidade.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos uma variável aleatória em dois “eixos” (X e Y) e a probabilidade conjunta é
P(X=x,Y=y)=k,(x+y),&x=1,2,3,,;y=1,2,0,&caso contrárioá
O que a gente quer aqui é achar o valor de para que isso seja realmente uma distribuição de probabilidade.
Conteúdo: probabilidade discreta bidimensional e a condição de normalização (soma de todas as probabilidades = 1).
O que vamos usar: a regra de que
.

Passo 2

Teoria na prática: para qualquer distribuição discreta (seja univariada ou multivariada), a soma de todas as probabilidades possíveis precisa dar 1. Aqui isso vira
sumx=1^3sumy=1^2P(X=x,Y=y);=;1
Como sumx=1^3sumy=1^2k,(x+y);=;k;sumx=1^3sumy=1^2(x+y);=;1 , a gente substitui e faz a soma dupla:

Passo 3

Agora é só computar a soma interna sumx=1^3sumy=1^2(x+y) =5+7+9 =21 . Vamos listar certinho:
Para :
  • :
  • :
    Soma para = .
Para :
  • :
  • :
    Soma para = .
Para :
  • :
  • :
    Soma para = .
Então no total:

Resposta

Substituindo na equação de normalização:
k times 21 = 1 Longrightarrow k = 121

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