Uma urna contém três bolas enumeradas
. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja
o número da primeira bola tirada e
o número da segunda.
e
são independentes?
Passo 1
Tranquilo! Vamos recapitular o que o enunciado pede:
- Matéria: Probabilidade, mais especificamente independência de variáveis aleatórias.
- O que temos: Uma urna com três bolas numeradas 1, 2 e 3. Tiramos duas bolas sem repor.
- Definições que vamos usar:
- Definição de variável aleatória discreta.
- Definição de independência:
e são independentes se, para todo par ,
- Nosso objetivo: ver se essa igualdade vale ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos listar todos os resultados possíveis (o espaço amostral) e suas probabilidades.
Como são 3 bolas e tiramos 2 sem reposição, toda sequência ordenada de duas bolas diferentes tem probabilidade igual.
Número total de sequências possíveis:
Como são 3 bolas e tiramos 2 sem reposição, toda sequência ordenada de duas bolas diferentes tem probabilidade igual.
Número total de sequências possíveis:
Cada sequência (por exemplo, (1,2), (1,3), (2,1), etc.) tem probabilidade
Passo 3
Agora achamos as marginais de
e de
:
- Para
: qualquer valor aparece como primeira bola em exatamente 2 sequências (pois sobram 2 opções para a segunda), então
- Para: similarmente, qualquer valor aparece como segunda bola em 2 sequências (pois podia vir de 2 bolas diferentes na primeira), então
Passo 4
Vamos testar a condição de independência. Se fossem independentes, teríamos, por exemplo para
:
$$P(X = i, Y = j)\stackrel{?}{=}P(X = i),P(Y = j)
=\frac13\cdot\frac13=\frac{1}{9}.
P(X = i, Y = j)=\frac{1}{6}\neq\frac{1}{9}.$$
Portanto, a igualdade não se sustenta.
Passo 5
Uma forma ainda mais direta: veja a probabilidade condicional
Mas a marginal
o que não acontece (pois
).
Resposta
As variáveis aleatórias
e
não são independentes, porque a probabilidade conjunta não se factoriza em produto das marginais.