Uma urna contém três bolas enumeradas 1,2,3. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja X o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda. X e Y são independentes?

Passo 1

Tranquilo! Vamos recapitular o que o enunciado pede:
  • Matéria: Probabilidade, mais especificamente independência de variáveis aleatórias.
  • O que temos: Uma urna com três bolas numeradas 1, 2 e 3. Tiramos duas bolas sem repor.
  • Definições que vamos usar:
    1. Definição de variável aleatória discreta.
    2. Definição de independência: X e Y são independentes se, para todo par (i,j), P(X = i, Y = j) ;=; P(X = i),P(Y = j)
      - Nosso objetivo: ver se essa igualdade vale ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos listar todos os resultados possíveis (o espaço amostral) e suas probabilidades.
Como são 3 bolas e tiramos 2 sem reposição, toda sequência ordenada de duas bolas diferentes tem probabilidade igual.
Número total de sequências possíveis:
3 times 2 = 6
Cada sequência (por exemplo, (1,2), (1,3), (2,1), etc.) tem probabilidade
P(X=i, Y=j) = 16, ineq j

Passo 3

Agora achamos as marginais de X e de Y:
  • Para X: qualquer valor iin1,2,3 aparece como primeira bola em exatamente 2 sequências (pois sobram 2 opções para a segunda), então P(X = i) = 26 = 13
    - Para Y: similarmente, qualquer valor jin1,2,3 aparece como segunda bola em 2 sequências (pois podia vir de 2 bolas diferentes na primeira), então
    P(Y = j) = 26 = 13

Passo 4

Vamos testar a condição de independência. Se fossem independentes, teríamos, por exemplo para ineq j:
$$P(X = i, Y = j)\stackrel{?}{=}P(X = i),P(Y = j)
=\frac13\cdot\frac13=\frac{1}{9}. P(X = i, Y = j)stackrel?=P(X = i),P(Y = j) =13cdot13=19éáP(X = i, Y = j)=\frac{1}{6}\neq\frac{1}{9}.$$
Portanto, a igualdade não se sustenta.

Passo 5

Uma forma ainda mais direta: veja a probabilidade condicional
P(Y = j mid X = i) = P(X=i,Y=j)P(X=i) = tfrac16tfrac13 = tfrac12
Mas a marginal P(Y=j)=tfrac13. Se fosse independente, teríamos
P(Y=jmid X=i)=P(Y=j)=tfrac13,
o que não acontece (pois tfrac12neqtfrac13).

Resposta

As variáveis aleatórias X e Y não são independentes, porque a probabilidade conjunta não se factoriza em produto das marginais.

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