Suponha que três bolas são selecionadas ao acaso sem reposição de uma urna contendo três bolas vermelhas, quatro brancas e cinco bolas azuis. Sejam
e
respectivamente o número de bolas vermelhas e o número de bolas brancas escolhidas. Determine:
e
são independentes?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado (resumido): temos uma urna com 3 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis (total de 12 bolas), e tiramos 3 bolas sem reposição. Definimos duas variáveis aleatórias:
Enunciado (resumido): temos uma urna com 3 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis (total de 12 bolas), e tiramos 3 bolas sem reposição. Definimos duas variáveis aleatórias:
-
= número de bolas vermelhas retiradas -
= número de bolas brancas retiradas
Pergunta:
e
são independentes?
Matéria envolvida:
- Probabilidade discreta (modelagem hipergeométrica).
- Independência de variáveis: a condição é
O que vamos precisar:
- Número total de maneiras de escolher 3 bolas de 12:
. - Fórmulas de probabilidade hipergeométrica para
, e . - Um contra-exemplo (bastam valores específicos) para mostrar que a igualdade acima falha.
Passo 2
Calcular o total de jeitos de tirar 3 bolas de 12:
A probabilidade conjunta geral (hipergeométrica) de tirar
vermelhas e
brancas (logo
azuis) é
Passo 3
Calcular as marginais. Por exemplo,
Pegar (nenhuma vermelha): escolho as 3 bolas entre as 9 que não são vermelhas (4 brancas + 5 azuis), logo
Pegar
Pegar
(nenhuma branca): escolho as 3 bolas entre as 8 que não são brancas (3 vermelhas + 5 azuis), logo
Passo 4
Agora a probabilidade conjunta de
e
(ou seja, só azuis):
Passo 5
Testando independência para
,
:
que é diferente de
Como
, concluímos que a condição de independência falha.
Resposta
Não,
e
não são variáveis independentes.