Suponha que três bolas são selecionadas ao acaso sem reposição de uma urna contendo três bolas vermelhas, quatro brancas e cinco bolas azuis. Sejam X e Y respectivamente o número de bolas vermelhas e o número de bolas brancas escolhidas. Determine: X e Y são independentes?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede e o que a gente vai usar.
Enunciado (resumido): temos uma urna com 3 bolas vermelhas, 4 brancas e 5 azuis (total de 12 bolas), e tiramos 3 bolas sem reposição. Definimos duas variáveis aleatórias:
  • P(X=i,Y=j);=;P(X=i),P(Y=j)para todo i,j = número de bolas vermelhas retiradas
  • = número de bolas brancas retiradas
Pergunta: e são independentes?
Matéria envolvida:
  • Probabilidade discreta (modelagem hipergeométrica).
  • Independência de variáveis: a condição é
O que vamos precisar:
  1. Número total de maneiras de escolher 3 bolas de 12: .
  2. Fórmulas de probabilidade hipergeométrica para , e .
  3. Um contra-exemplo (bastam valores específicos) para mostrar que a igualdade acima falha.

Passo 2

Calcular o total de jeitos de tirar 3 bolas de 12:
Total ;=;binom123;=;12cdot11cdot103cdot2cdot1;=;220
A probabilidade conjunta geral (hipergeométrica) de tirar P(X=i,Y=j) =binom3i,binom4j,binom53-i-jbinom123 vermelhas e brancas (logo azuis) é

Passo 3

Calcular as marginais. Por exemplo,
Pegar P(X=0)=binom30,binom93binom123 =1cdotbinom93220 =84220approx0,3818 (nenhuma vermelha): escolho as 3 bolas entre as 9 que não são vermelhas (4 brancas + 5 azuis), logo
P(Y=0)=binom40,binom83binom123 =1cdot56220 =56220approx0,2545
Pegar (nenhuma branca): escolho as 3 bolas entre as 8 que não são brancas (3 vermelhas + 5 azuis), logo

Passo 4

Agora a probabilidade conjunta de P(X=0,Y=0) =binom30,binom40,binom53binom123 =1cdot1cdot10220 =10220 =122approx0,0455 e (ou seja, só azuis):

Passo 5

Testando independência para P(X=0),P(Y=0) approx0,3818times0,2545approx0,0973, , P(X=0,Y=0)approx0,0455 :
que é diferente de
Como , concluímos que a condição de independência falha.

Resposta

Não, e não são variáveis independentes.

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