Seja a variável bidimensional (X, Y) com função densidade de probabilidade
f(x, y)=l k e^-(x+2 y), x>0, y>0 0, caso contrário á
Quais são as densidades marginais de X e de Y ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória bidimensional f(x,y)= k,e^-(x+2y),& x>0,;y>0, 0,&caso contrário com densidade conjunta
á
O conteúdo aqui é “densidade de probabilidade contínua” e “densidade marginal”. Para achar as densidades marginais e a gente precisa:
  1. Determinar o valor de usando a condição de normalização .
  2. Integrar a função conjunta em para obter .
  3. Integrar em para obter .

Passo 2

Vamos achar integral0^infty!!integral0^infty k,e^-(x+2y),dx,dy = 1 . A normalização exige
k;l(integral0^inftye^-xdxr);l(integral0^inftye^-2ydyr)=1
Como a integral é separável, dá
k,(1),l(tfrac12r)=1 Longrightarrow k=2
Sabendo que

e

ficamos com

Passo 3

Agora, a densidade marginal de fX(x) = integral-infty^infty f(x,y),dy = integral0^infty 2,e^-(x+2y),dy, é
fX(x) = 2,e^-xintegral0^infty e^-2ydy = 2,e^-xcdottfrac12 = e^-x, x>0
porque só vale para . Factorizando :
Fora disso, .

Passo 4

Do mesmo jeitinho, a densidade marginal de fY(y) = integral-infty^infty f(x,y),dx = integral0^infty 2,e^-(x+2y),dx = 2,e^-2yintegral0^infty e^-xdx = 2,e^-2ycdot1 = 2,e^-2y, y>0 é
Fora de , .

Resposta

f_X(x)= e^-x,&x>0,0,&caso contrário,á
f_Y(y)= 2,e^-2y,&y>0,0,&caso contrárioá

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