Seja a variável bidimensional
com função densidade de probabilidade
Quais são as densidades marginais de
e de
?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória bidimensional
com densidade conjunta
O conteúdo aqui é “densidade de probabilidade contínua” e “densidade marginal”. Para achar as densidades marginais
e
a gente precisa:
- Determinar o valor de
usando a condição de normalização . - Integrar a função conjunta em
para obter . - Integrar em
para obter .
Passo 2
Vamos achar
. A normalização exige
Como a integral é separável, dá
Sabendo que
e
ficamos com
e
ficamos com
Passo 3
Agora, a densidade marginal de
é
porque só vale para
. Factorizando
:
Fora disso,
.
Passo 4
Do mesmo jeitinho, a densidade marginal de
é
Fora de
,
.
Resposta
f_X(x)=
f_Y(y)=
f_Y(y)=