Seja a variável bidimensional
com função de densidade conjunta
Encontre as marginais de
e
.
Passo 1
Beleza, então temos uma variável bidimensional
cuja densidade conjunta é
O que a gente quer aqui é achar as densidades marginais de
e de
. Isso envolve dois tópicos principais:
- normalizar a densidade conjunta (descobrir
), - calcular integrais para obter
e .
Vou explicar do zero cada passo, como se a gente estivesse trocando ideia num café.
Passo 2
Antes de tudo, a densidade conjunta precisa satisfazer
Como é zero fora do quadrado
, a gente faz
Calculemos por partes:
- Integramos em
:
- Agora em
:
Então
Passo 3
Agora que sabemos
fX(x) = integral-infty^infty f(x,y),dy = integral0^1 4,x,y ;dy, , vamos achar a marginal de
fX(x) = 4x integral0^1 y,dy = 4x cdot 12 = 2x, , que é
pois fora de
a densidade é zero.
Fazendo a integral em :
Fazendo a integral em
válido para
. Fora disso,
.
Passo 4
Do mesmo jeito, a marginal de
fY(y) = integral-infty^infty f(x,y),dx = integral0^1 4,x,y ;dx = 4y integral0^1 x,dx = 4y cdot 12 = 2y, é
para
, e zero em outro caso.
Resposta
As densidades marginais são