Seja a variável bidimensional (X, Y) com função de densidade conjunta
f(x, y)=l c x y, 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1 0, caso contrário á
Encontre as marginais de X e Y.

Passo 1

Beleza, então temos uma variável bidimensional f(x,y) = c,x,y, & 0 <= x <=1,;0<= y<=1, 0,&fora cuja densidade conjunta é
O que a gente quer aqui é achar as densidades marginais de e de . Isso envolve dois tópicos principais:
  1. normalizar a densidade conjunta (descobrir ),
  2. calcular integrais para obter e .
    Vou explicar do zero cada passo, como se a gente estivesse trocando ideia num café.

Passo 2

Antes de tudo, a densidade conjunta precisa satisfazer
integral duplaR^2 f(x,y),dx,dy = 1
Como é zero fora do quadrado integral0^1integral0^1 c,x,y ;dx,dy = 1 , a gente faz
integral0^1 x,dx = x^22|0^1 = 12
Calculemos por partes:
  1. Integramos em integral0^1 y,dy = y^22|0^1 = 12 :
integral0^1integral0^1 c,x,y ,dx,dy = c (tfrac12)(tfrac12) = c,14 stackrel!=1 ;Longrightarrow; c = 4
  1. Agora em :
Então

Passo 3

Agora que sabemos fX(x) = integral-infty^infty f(x,y),dy = integral0^1 4,x,y ;dy, , vamos achar a marginal de fX(x) = 4x integral0^1 y,dy = 4x cdot 12 = 2x, , que é
pois fora de a densidade é zero.
Fazendo a integral em :
válido para . Fora disso, .

Passo 4

Do mesmo jeito, a marginal de fY(y) = integral-infty^infty f(x,y),dx = integral0^1 4,x,y ;dx = 4y integral0^1 x,dx = 4y cdot 12 = 2y, é
para , e zero em outro caso.

Resposta

As densidades marginais são
fX(x) = 2x, & 0<= x<=1, 0, & caso contrário, e fY(y) = 2y, & 0<= y<=1, 0, & caso contrário áá

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