Uma urna contém três bolas enumeradas 1,2,3. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja X o número da primeira bola tirada e Y o número da segunda. Calcule a correlação entre (X, Y).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma urna com três bolas (1, 2 e 3). A gente tira duas bolas sem repor. X é o número da primeira bola, Y o número da segunda. Queremos a correlação entre X e Y.”
O conteúdo aqui é Estatística Básica: expectativa (E), variância (Var), covariância (Cov) e coeficiente de correlação. Vamos usar as fórmulas:
  • E[X], E[Y] e E[XY]
  • Var(X) e Var(Y)
  • Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]
  • ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/√(Var(X)Var(Y))

Passo 2

Primeiro, E[X] e E[Y]. Como cada bola (1,2,3) tem probabilidade igual de ser a primeira ou a segunda,
E[X]=sumi=1^3 icdot P(X=i)=1+2+33=2
O mesmo vale para Y (cada bola tem prob 1/3 de sair em segundo), logo
E[Y]=2

Passo 3

Agora Var(X). A gente usa Var(X)=E[X2]−(E[X])2. Primeiro E[X^2]:
E[X^2]=sumi=1^3 i^2cdot P(X=i)=1^2+2^2+3^23=143
Então
Var(X)=143-2^2=143-4=23
Igual para Y: Var(Y)=2/3.

Passo 4

Agora E[XY]. Como é sem reposição, as 6 sequências (i,j) com i≠j têm prob 1/6 cada. Então
E[XY] =sumineq jicdot jcdot P(X=i,Y=j) =16sumineq ji,j
O somatório E[XY]=226=113 vale Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] =113-2cdot2 =113-4 =-13 . Logo
Agora a covariância:

Passo 5

Por fim, a correlação
rhoXY =Cov(X,Y)raizVar(X),Var(Y) =-tfrac13raiztfrac23cdottfrac23 =-tfrac13tfrac23 =-tfrac12

Resposta

A correlação entre X e Y é .

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