Uma urna contém três bolas enumeradas
. Duas bolas são tiradas sucessivamente da urna, ao acaso e sem reposição. Seja
o número da primeira bola tirada e
o número da segunda. Calcule a correlação entre
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos uma urna com três bolas (1, 2 e 3). A gente tira duas bolas sem repor. X é o número da primeira bola, Y o número da segunda. Queremos a correlação entre X e Y.”
O conteúdo aqui é Estatística Básica: expectativa (E), variância (Var), covariância (Cov) e coeficiente de correlação. Vamos usar as fórmulas:
O conteúdo aqui é Estatística Básica: expectativa (E), variância (Var), covariância (Cov) e coeficiente de correlação. Vamos usar as fórmulas:
- E[X], E[Y] e E[XY]
- Var(X) e Var(Y)
- Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]
- ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/√(Var(X)Var(Y))
Passo 2
Primeiro, E[X] e E[Y]. Como cada bola (1,2,3) tem probabilidade igual de ser a primeira ou a segunda,
O mesmo vale para Y (cada bola tem prob 1/3 de sair em segundo), logo
Passo 3
Agora Var(X). A gente usa Var(X)=E[X2]−(E[X])2. Primeiro E[X^2]:
Então
Igual para Y: Var(Y)=2/3.
Passo 4
Agora E[XY]. Como é sem reposição, as 6 sequências (i,j) com i≠j têm prob 1/6 cada. Então
O somatório
vale
. Logo
Agora a covariância:
Passo 5
Por fim, a correlação
Resposta
A correlação entre X e Y é
.