Seja uma variável X sim N(mu, 16) observada em dada população. Supondo que queiramos um erro amostral da média máximo de varepsilon=1, com 94 % de probabilidade, entre as alternativas a seguir, assinale aquela que contém o menor tamanho de amostra que possibilite esse erro máximo estabelecido.
a) 46 .
b) 55 .
c) 59 .
d) 62.
e) 68 .

Passo 1

Vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o menor tamanho de amostra necessário para estimar a média de uma população com um erro máximo de 1, com 94% de probabilidade. Estamos lidando com distribuição normal, então vamos usar conceitos de intervalo de confiança e erro amostral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a variável X sim N(mu, 16). Isso quer dizer que X segue uma distribuição normal com média mu e variância 16. A variância é o quadrado do desvio padrão, então o desvio padrão sigma é:
sigma = raiz16 = 4

Passo 3

O próximo passo é identificar a fórmula que relaciona o tamanho da amostra ( n), o desvio padrão ( sigma), o erro amostral máximo ( varepsilon) e o nível de confiança. A fórmula para o tamanho da amostra em um intervalo de confiança é:
n = ( Z cdot sigmavarepsilon )^2
Aqui, Z é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.

Passo 4

Precisamos encontrar o valor de Z que corresponde a um nível de confiança de 94%. O nível de confiança de 94% significa que queremos que a área central da distribuição normal seja de 94%, deixando 3% em cada extremidade (cauda) da distribuição.
Usando uma tabela de distribuição normal ou uma calculadora, encontramos que o valor de Z que deixa 3% na cauda superior é aproximadamente:
Z approx 1,88

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na fórmula do tamanho da amostra:
n = ( 1,88 cdot 41 )^2 = (7,52)^2 approx 56,5
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para cima:
n approx 57

Passo 6

Observando as opções fornecidas:
a) 46
b) 55
c) 59
d) 62
e) 68
O menor valor que é igual ou maior que 57 é 59.

Resposta

A alternativa correta é c) 59.

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