Considerando X sim N(50,16) e Y sim N(100,25), qual o evento mais provável: Sortear um valor de X menor que 48 ou um valor de Y maior que 102?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas variáveis aleatórias: X que segue uma distribuição normal com média 50 e variância 16, e Y que também é normal com média 100 e variância 25. A pergunta é: qual evento é mais provável — tirar um valor de X menor que 48 ou tirar um valor de Y maior que 102?

Passo 2

Primeiro, vamos entender as distribuições. Para X sim N(50,16), a média ( muX) é 50 e o desvio padrão ( sigmaX) é a raiz quadrada da variância, ou seja, sigmaX = raiz16 = 4. Para Y sim N(100,25), a média ( muY) é 100 e o desvio padrão ( sigmaY) é raiz25 = 5.

Passo 3

Agora, vamos calcular os valores z para cada evento. O valor z indica quantos desvios padrão o valor está afastado da média.
Para X < 48:
zX = 48 - muXsigmaX = 48 - 504 = -24 = -0,5
Para Y > 102:
zY = 102 - muYsigmaY = 102 - 1005 = 25 = 0,4

Passo 4

Com os valores z, podemos encontrar as probabilidades usando a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora.
Para zX = -0,5:
P(X < 48) = P(Z < -0,5) approx 0,3085 ou 30,85%
Para zY = 0,4:
P(Y > 102) = P(Z > 0,4) = 1 - P(Z < 0,4) approx 1 - 0,6554 = 0,3446 ou 34,46%

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas probabilidades:
P(X < 48) approx 30,85% P(Y > 102) approx 34,46%

Resposta

O evento de tirar um valor de Y maior que 102 é mais provável, com aproximadamente 34,46% de chance, comparado a 30,85% para tirar um valor de X menor que 48.

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