Use a regra da substituição para transformar integral q^prime(t)(200-q(t))(44-q(t)) d t em uma outra integral que não envolve a função q(t) nem a derivada q^prime(t). Calcule a integral obtida usando o método das frações parciais.

Passo 1

Enunciado resumido: Temos a integral integral q'(t)(200 - q(t))(44 - q(t)),dt. O conteúdo envolve integração por substituição e, em seguida, frações parciais para calcular a integral resultante.

Passo 2

Fazendo a substituição u = q(t). Então du = q'(t),dt e a integral vira:
integral q'(t)(200 - q(t))(44 - q(t)),dt = integral du(200 - u)(44 - u)
Fazendo a decomposição em frações parciais:
1(200 - u)(44 - u) = A200 - u + B44 - u
Multiplicando ambos os lados por (200 - u)(44 - u) obtemos:
1 = A(44 - u) + B(200 - u)
Escolhendo u = 44 B = tfrac1156 e escolhendo u = 200 A = -tfrac1156.

Passo 3

Integrando cada termo: usando
integral du200 - u = -ln|200 - u|, integral du44 - u = -ln|44 - u|,
temos
integral du(200 - u)(44 - u) = integrall(-tfrac11561200 - u + tfrac1156144 - ur)du = 1156ln|200 - u| - 1156ln|44 - u| + C = 1156lnl|200 - u44 - ur| + C

Passo 4

Voltando à variável original q(t): basta substituir u = q(t) na expressão obtida, resultando em:
integral q'(t)(200 - q(t))(44 - q(t)),dt = 1156lnl|200 - q(t)44 - q(t)r| + C

Resposta

integral q'(t)(200 - q(t))(44 - q(t)),dt = 1156lnl|200 - q(t)44 - q(t)r| + C.

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