Seja (\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) a base canônica. Um vetor \vec{v} forma como os vetores \vec{i} e \vec{j} ângulos de 60^{\circ} e 120^{\circ}, respectivamente. Determinar \vec{v}, sabendo que \|\vec{v}\|=2.

Passo 1

O enunciado diz que um vetor \vec v na base canônica (\vec i,\vec j,\vec k) tem norma \|\vec v\|=2 e forma ângulos de 60^\circ com \vec i e 120^\circ com \vec j. Para resolver, vamos usar produto escalar e a relação entre ângulo e produto escalar:
\vec v\cdot\vec e = \|\vec v\|\|\vec e\|\cos(\theta),
onde \vec e é um vetor‐eixo \vec i,\vec j ou \vec k.

Passo 2

Para o ângulo de 60^\circ com \vec i, temos
\vec v\cdot\vec i = \|\vec v\|\|\vec i\|\cos(60^\circ) =2\cdot1\cdot\frac12 =1.
Mas \vec v\cdot\vec i é justamente a componente x de \vec v. Logo,
v_x = 1.

Passo 3

Para o ângulo de 120^\circ com \vec j, temos
\vec v\cdot\vec j = \|\vec v\|\|\vec j\|\cos(120^\circ) =2\cdot1\cdot\Bigl(-\tfrac12\Bigr) = -1.
Isso significa que a componente y de \vec v é
v_y = -1.

Passo 4

Falta achar a componente z. Usamos a norma ao quadrado:
\|\vec v\|^2 = v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 = 4.
Substituindo v_x=1 e v_y=-1,
1^2 + (-1)^2 + v_z^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2 + v_z^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad v_z^2 = 2 \quad\Longrightarrow\quad v_z = \pm\sqrt{2}.

Resposta

As soluções para \vec v são
\vec v = (1,\,-1,\,\sqrt{2}) \quad\text{ou}\quad \vec v = (1,\,-1,\,-\sqrt{2}),
ambas com \|\vec v\|=2 e os ângulos pedidos com \vec i e \vec j.

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