Considere os vetores \vec{u}=(1-\alpha, 1+\alpha) e \vec{v}=(1+\alpha, 1-\alpha), onde \alpha \neq 0.
Mostre que \{\vec{u}, \vec{v}\} é L. I.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \vec{u}=(1-\alpha,\,1+\alpha) e \vec{v}=(1+\alpha,\,1-\alpha) em \mathbb{R}^2, pede para mostrar que, para \alpha\neq0, o conjunto \{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente independente. Vamos usar a definição de independência linear em \mathbb{R}^2.

Passo 2

Pela definição, \{\vec{u},\vec{v}\} é L.I. se
\lambda_1\vec{u}+\lambda_2\vec{v}=\vec{0}
implica \lambda_1=\lambda_2=0. Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} \lambda_1(1-\alpha)+\lambda_2(1+\alpha)=0,\\\ \lambda_1(1+\alpha)+\lambda_2(1-\alpha)=0. \end{cases}

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira temos
\lambda_1\bigl((1-\alpha)-(1+\alpha)\bigr) +\lambda_2\bigl((1+\alpha)-(1-\alpha)\bigr)=0,
ou seja
-2\alpha\,\lambda_1+2\alpha\,\lambda_2=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1-\lambda_2=0 \quad(\alpha\neq0).
Logo \lambda_1=\lambda_2. Substituindo em qualquer das equações iniciais, por exemplo na primeira,
\lambda_1(1-\alpha)+\lambda_1(1+\alpha)=2\lambda_1=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1=0,
e então \lambda_2=0. Esse é o único par de escalares que zera a combinação linear.

Resposta

Como a única solução de \lambda_1\vec{u}+\lambda_2\vec{v}=\vec{0} é \lambda_1=\lambda_2=0, segue que \{\vec{u},\vec{v}\} é linearmente independente.

Exercícios relacionados