Mostrar que o conjunto \left\{(1,0, \alpha),(1,1, \alpha),\left(1,1, \alpha^{2}\right)\right\} de vetores do \mathbb{R}^{3} é L.I., desde que \alpha \neq 0 e \alpha \neq 1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que os vetores \,(1,0,\alpha), \,(1,1,\alpha) e \,(1,1,\alpha^2) em \mathbb{R}^3 são linearmente independentes sempre que \alpha\neq0 e \alpha\neq1.
Para isso, vamos usar a definição de independência linear: uma combinação linear desses vetores igual a zero implica que todos os coeficientes são zero.

Passo 2

Considere a combinação linear nula
c_{1}(1,0,\alpha)+c_{2}(1,1,\alpha)+c_{3}(1,1,\alpha^2)=(0,0,0).
Isso gera um sistema de equações para as componentes.

Passo 3

Escrevendo componente a componente, obtemos \begin{cases} c_{1}+c_{2}+c_{3}=0,\\\ \;c_{2}+c_{3}=0,\\\ \;\alpha\,c_{1}+\alpha\,c_{2}+\alpha^{2}c_{3}=0. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem
c_{2}+c_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad c_{2}=-c_{3}.
Substituindo em c_{1}+c_{2}+c_{3}=0
c_{1}+(-c_{3})+c_{3}=c_{1}=0.

Passo 5

Com c_{1}=0 e c_{2}=-c_{3}, a terceira equação
\alpha\,c_{1}+\alpha\,c_{2}+\alpha^{2}c_{3} =\alpha\cdot0+\alpha(-c_{3})+\alpha^{2}c_{3} =(\alpha^{2}-\alpha)\,c_{3}=0
implica (\alpha(\alpha-1))\,c_{3}=0. Como \alpha\neq0 e \alpha\neq1, temos \alpha(\alpha-1)\neq0, logo c_{3}=0. Então c_{2}=-c_{3}=0.

Resposta

Os únicos coeficientes possíveis são c_{1}=c_{2}=c_{3}=0, portanto o conjunto é linearmente independente para \alpha\neq0 e \alpha\neq1.

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