Seja \vec{F}(x, y, z)=(x y, y z, z x). Calcule \iint_{S} \vec{F} \cdot d \vec{S}, onde S é a superfície do cilindro x^{2}+y^{2}=4, com 0 \leq z \leq 3, incluindo as tampas superior e inferior.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo \iint_{S} \vec{F}\cdot d\vec{S} da campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=(x y,\,y z,\,z x) através da superfície S que é a superfície do cilindro x^{2}+y^{2}=4 com 0\le z\le 3, incluindo as tampas superior e inferior.\n
Informações fornecidas:
\vec{F}(x,y,z)=(x y,\,y z,\,z x),
S=\{\,(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}=4,\;0\le z\le3\,\}\\ \text{com tampas }(z=0\text{ e }z=3).
Objetivo final: encontrar o valor numérico do fluxo \iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}.

Passo 2

Escolha do método: usar o Teorema da Divergência (Gauss). Vou justificar porque essa é a escolha mais prática:\n
  • O enunciado pede o fluxo através de uma superfície fechada (cilindro com tampas), exatamente o tipo de situação em que o Teorema da Divergência é aplicável.\n
  • Aplicar o Teorema da Divergência transforma a integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume delimitado, que costuma ser mais simples quando o volume tem simetria (aqui é um cilindro).\n
  • Fazer a integral diretamente sobre cada parte da superfície (lateral + duas tampas) exige calcular normais e integrar componentes separadamente — dá mais trabalho e mais chance de erro. Portanto uso o Teorema da Divergência.

Passo 3

Enunciado do Teorema da Divergência (em linguagem simples): para um campo vetorial \vec{F} bem comportado e uma região volumétrica V com fronteira fechada orientada para fora, vale
\iint_{\partial V} \vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V} (\nabla\cdot\vec{F})\,dV.
Aqui \partial V é a superfície fechada (no problema, S) e \nabla\cdot\vec{F} é a divergência de \vec{F}. Vou calcular \nabla\cdot\vec{F}.

Passo 4

Cálculo da divergência de \vec{F}.\n
A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(x y)+\frac{\partial}{\partial y}(y z)+\frac{\partial}{\partial z}(z x).
Calcule cada termo:\n
\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(x y)=y,\quad \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y z)=z,\quad \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}(z x)=x.\n
Portanto
\nabla\cdot\vec{F}=x+y+z.

Passo 5

Aplicando o Teorema da Divergência: o fluxo pedido é
\iint_{S}\vec{F}\cdot d\vec{S}=\iiint_{V} (x+y+z)\,dV,
onde V é o volume do cilindro definido por x^{2}+y^{2}\le 4 e 0\le z\le 3.

Passo 6

Separação da integral em três integrais:
\iiint_{V} (x+y+z)\,dV=\iiint_{V} x\,dV+\iiint_{V} y\,dV+\iiint_{V} z\,dV.
Agora vamos tratar cada termo. Para os dois primeiros termos usamos simetria do domínio (o disco x^{2}+y^{2}\le4 é simétrico em relação à origem no plano xy):\n
  • A função x é ímpar em x e o domínio em x é simétrico (para cada (x,y) no disco existe (-x,y)), então
\iiint_{V} x\,dV=0.
  • Analogamente, \iiint_{V} y\,dV=0.\n
    Portanto resta calcular
\iiint_{V} z\,dV.

Passo 7

Cálculo de \displaystyle \iiint_{V} z\,dV usando coordenadas cilíndricas (ou usando área da base multiplicada por integral em z). Vou mostrar os dois raciocínios brevemente; ambos chegam ao mesmo resultado.\n
Método direto (área da base): a integral em x,y de 1 sobre o disco de raio 2 é a área do disco:
\text{Área do disco}=\pi r^{2}=\pi\cdot 2^{2}=4\pi.Á
Como z não depende de x,y, podemos escrever
\iiint_{V} z\,dV=\int_{z=0}^{3}\left( z\cdot \text{Área do disco}\right)\,dz=4\pi\int_{0}^{3} z\,dz.Á
Calcule a integral em z:
\int_{0}^{3} z\,dz=\left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{3}=\frac{9}{2}.
Multiplicando:
\iiint_{V} z\,dV=4\pi\cdot\frac{9}{2}=18\pi.

Passo 8

(Verificação alternativa com coordenadas cilíndricas para fixar a intuição)\n
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) temos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Então
\iiint_{V} z\,dV=\int_{z=0}^{3}\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2} z\; r\,dr\,d\theta\,dz.
Calcule a integral em r e \theta:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r\,dr\,d\theta=(2\pi)\left[\frac{r^{2}}{2}\right]_{0}^{2}=(2\pi)\cdot 2=4\pi.
Restando \int_{0}^{3} z\cdot 4\pi\,dz = 4\pi\cdot \tfrac{9}{2}=18\pi, o mesmo resultado.

Passo 9

Conclusão: somando os três termos (lembre que os termos com x e y são zero) obtemos
\iiint_{V} (x+y+z)\,dV=0+0+18\pi=18\pi.
Portanto o fluxo pedido é 18\pi. Força — você já dominou a técnica: quando tiver superfície fechada, pense no Teorema da Divergência!

Resposta

18\pi

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