Seja
. Calcule
, onde
é a superfície do cilindro
, com
, incluindo as tampas superior e inferior.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo
da campo vetorial
através da superfície
que é a superfície do cilindro
com
, incluindo as tampas superior e inferior.\n
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
Objetivo final: encontrar o valor numérico do fluxo
.
Passo 2
Escolha do método: usar o Teorema da Divergência (Gauss). Vou justificar porque essa é a escolha mais prática:\n
- O enunciado pede o fluxo através de uma superfície fechada (cilindro com tampas), exatamente o tipo de situação em que o Teorema da Divergência é aplicável.\n
- Aplicar o Teorema da Divergência transforma a integral de superfície em uma integral tripla sobre o volume delimitado, que costuma ser mais simples quando o volume tem simetria (aqui é um cilindro).\n
- Fazer a integral diretamente sobre cada parte da superfície (lateral + duas tampas) exige calcular normais e integrar componentes separadamente — dá mais trabalho e mais chance de erro. Portanto uso o Teorema da Divergência.
Passo 3
Enunciado do Teorema da Divergência (em linguagem simples): para um campo vetorial
bem comportado e uma região volumétrica
com fronteira fechada orientada para fora, vale
Aqui
é a superfície fechada (no problema,
) e
é a divergência de
. Vou calcular
.
Passo 4
Cálculo da divergência de
.\n
A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
A divergência é a soma das derivadas parciais das componentes:
Calcule cada termo:\n
,\quad
,\quad
.\n
Portanto
Portanto
Passo 5
Aplicando o Teorema da Divergência: o fluxo pedido é
onde
é o volume do cilindro definido por
e
.
Passo 6
Separação da integral em três integrais:
Agora vamos tratar cada termo. Para os dois primeiros termos usamos simetria do domínio (o disco
é simétrico em relação à origem no plano
):\n
- A função
é ímpar em e o domínio em é simétrico (para cada no disco existe ), então
- Analogamente,
.\n
Portanto resta calcular
Passo 7
Cálculo de
usando coordenadas cilíndricas (ou usando área da base multiplicada por integral em
). Vou mostrar os dois raciocínios brevemente; ambos chegam ao mesmo resultado.\n
Método direto (área da base): a integral em de
sobre o disco de raio
é a área do disco:
Método direto (área da base): a integral em
Como
não depende de
, podemos escrever
Calcule a integral em
:
Multiplicando:
Passo 8
(Verificação alternativa com coordenadas cilíndricas para fixar a intuição)\n
Em coordenadas cilíndricas temos
e
. Então
Em coordenadas cilíndricas
Calcule a integral em
e
:
Restando
, o mesmo resultado.
Passo 9
Conclusão: somando os três termos (lembre que os termos com
e
são zero) obtemos
Portanto o fluxo pedido é
. Força — você já dominou a técnica: quando tiver superfície fechada, pense no Teorema da Divergência!