Explique por que o fluxo de um campo com divergência nula através de qualquer superfície fechada é zero. Dê um exemplo de tal campo e uma superfície fechada, e verifique essa propriedade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que o fluxo de um campo vetorial cuja divergência é zero através de qualquer superfície fechada é igual a zero; (2) dar um exemplo concreto de um campo com divergência nula e de uma superfície fechada e verificar que, de fato, o fluxo através dessa superfície é zero.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): o campo vetorial tem divergência nula numa região que contém a superfície fechada; a superfície é fechada (ou seja, é o contorno de algum volume ); queremos o fluxo através dessa superfície orientada para fora.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): o campo vetorial tem divergência nula numa região que contém a superfície fechada; a superfície é fechada (ou seja, é o contorno de algum volume
Passo 2
O que é divergência e como ela se relaciona com fluxo infinitesimal.
Definição: para um campo vetorial suficientemente suave, a divergência é
Definição: para um campo vetorial
Explicação didática:
mede a “taxa de fonte” local do campo num ponto — se for positiva, em média há mais “fluxo saindo” do que entrando num pequeno volume ao redor do ponto; se for negativa, há mais entrada. Cada termo
indica como a componente
muda na direção
: se
cresce com
, há tendência de saída pela faces perpendiculares ao eixo
.
Relação com fluxo local: considere um pequeno cubo de volume
. O fluxo total de
através das seis faces desse cubo, dividido por
, aproxima-se de
quando
. Isso é o fundamento físico-intuitivo da divergência.
Passo 3
O que é fluxo através de uma superfície fechada.
Definição: o fluxo de através da superfície fechada
(fronteira de
) orientada para fora é
Definição: o fluxo de
onde
, com
a normal unitária exterior. Interpretando: integrando
em cada ponto da superfície, somamos a quantidade de campo que “sai” do volume
.
Passo 4
Enunciado do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) e explicação por que ele conecta divergência e fluxo total.
Teorema: se é continuamente diferenciável num domínio que contém
e sua fronteira
, então
Teorema: se
Significado das variáveis:
é o volume delimitado pela superfície fechada
;
é o elemento de volume;
é a divergência definida no Passo 2;
é o elemento de área orientado para fora.
Esboço intuítivo da demonstração (passo a passo mental): divida
em muitos pequenos cubinhos. O fluxo pela superfície total de
é soma dos fluxos pelas superfícies exteriores desses cubinhos. Nas faces internas entre cubinhos, os fluxos de cubinho adjacentes têm sinais opostos e se cancelam. Assim sobra apenas o somatório das contribuições das faces externas, que é precisamente o fluxo através de
. Ao aproximar cada pequeno cubo por seu comportamento linear, o fluxo líquido de cada cubo é aproximadamente
; somando e passando ao limite obtém-se a igualdade do teorema. Isso explica por que divergência (fluxo por volume) se integra para dar o fluxo pela fronteira.
Passo 5
Aplicação imediata do teorema à afirmação do enunciado.
Se em todo o volume
(isto é, divergence nula em
e
é suficientemente suave), então a integral de volume do lado esquerdo é zero:
Se
Pelo Teorema da Divergência,
Portanto, o fluxo através de qualquer superfície fechada
cuja interior esteja todo em região onde
é zero. Conclusão lógica e direta: divergência nula em
implica fluxo nulo pela superfície fechada que limita
.
Passo 6
Exemplo concreto e verificação direta (cálculo ponto a ponto).
Escolho o campo
Escolho o campo
- Verificação da divergência: calculemos
:
Ou seja, a divergência é zero em todo o espaço (campo suave e sem singularidades).
- Escolho como superfície fechada a esfera de raio
centrada na origem, denotada por . Ponto da esfera: com . A normal exterior unitária é
O elemento de área é
(não precisamos explicitá-lo para ver o integrando). O produto interno é
O integrando
é identicamente zero em toda a superfície. Logo a integral de superfície vale zero:
Isso confirma explicitamente, ponto a ponto, a propriedade dada pelo teorema.
Passo 7
Observação importante sobre hipóteses e exceções (para você não se enrolar na prova).
O teorema exige que seja continuamente diferenciável na região que contém o volume
e sua fronteira. Se houver singularidade dentro de
(ponto onde
não é definida ou
não existe), a conclusão pode falhar. Exemplo clássico:
tem
para
, mas na origem é singular; o fluxo através de uma esfera centrada na origem não é zero (cálculo rápido: sobre esfera de raio
,
, então o fluxo é
). Moral: sempre cheque se
é suave no interior do volume antes de aplicar o teorema.
O teorema exige que
Passo 8
Resumo direto e encorajador (rápido para a prova).
Se em um volume
e
é continuamente diferenciável em
, então pelo Teorema da Divergência o fluxo através de qualquer superfície fechada
é zero. Um exemplo simples é
e a esfera centrada na origem: divergência zero e fluxo nulo (o integrando é zero ponto a ponto). Se aparecer um campo com singularidade, cuidado — aí a propriedade pode não valer.
Se
Resposta
O fluxo é zero (isto é,
) sempre que
em
e
for continuamente diferenciável em
.
Exemplo: e superfície a esfera de raio
centrada na origem. Verificação:
e
em toda a esfera, logo o fluxo é
.
Exemplo: