Explique por que o fluxo de um campo com divergência nula através de qualquer superfície fechada é zero. Dê um exemplo de tal campo e uma superfície fechada, e verifique essa propriedade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar por que o fluxo de um campo vetorial cuja divergência é zero através de qualquer superfície fechada é igual a zero; (2) dar um exemplo concreto de um campo com divergência nula e de uma superfície fechada e verificar que, de fato, o fluxo através dessa superfície é zero.
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): o campo vetorial tem divergência nula numa região que contém a superfície fechada; a superfície é fechada (ou seja, é o contorno de algum volume V); queremos o fluxo através dessa superfície orientada para fora.

Passo 2

O que é divergência e como ela se relaciona com fluxo infinitesimal.
Definição: para um campo vetorial \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3) suficientemente suave, a divergência é
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Explicação didática: \nabla\cdot\mathbf{F} mede a “taxa de fonte” local do campo num ponto — se for positiva, em média há mais “fluxo saindo” do que entrando num pequeno volume ao redor do ponto; se for negativa, há mais entrada. Cada termo \partial F_i/\partial x_i indica como a componente F_i muda na direção x_i: se F_1 cresce com x, há tendência de saída pela faces perpendiculares ao eixo x.
Relação com fluxo local: considere um pequeno cubo de volume \Delta V. O fluxo total de \mathbf{F} através das seis faces desse cubo, dividido por \Delta V, aproxima-se de \nabla\cdot\mathbf{F} quando \Delta V\to 0. Isso é o fundamento físico-intuitivo da divergência.

Passo 3

O que é fluxo através de uma superfície fechada.
Definição: o fluxo de \mathbf{F} através da superfície fechada \partial V (fronteira de V) orientada para fora é
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S},
onde d\mathbf{S}=\mathbf{n}\,dS, com \mathbf{n} a normal unitária exterior. Interpretando: integrando \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} em cada ponto da superfície, somamos a quantidade de campo que “sai” do volume V.

Passo 4

Enunciado do Teorema da Divergência (Teorema de Gauss) e explicação por que ele conecta divergência e fluxo total.
Teorema: se \mathbf{F} é continuamente diferenciável num domínio que contém V e sua fronteira \partial V, então
\iiint_{V} (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV = \iint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}.
Significado das variáveis: V é o volume delimitado pela superfície fechada \partial V; dV é o elemento de volume; \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência definida no Passo 2; d\mathbf{S} é o elemento de área orientado para fora.
Esboço intuítivo da demonstração (passo a passo mental): divida V em muitos pequenos cubinhos. O fluxo pela superfície total de V é soma dos fluxos pelas superfícies exteriores desses cubinhos. Nas faces internas entre cubinhos, os fluxos de cubinho adjacentes têm sinais opostos e se cancelam. Assim sobra apenas o somatório das contribuições das faces externas, que é precisamente o fluxo através de \partial V. Ao aproximar cada pequeno cubo por seu comportamento linear, o fluxo líquido de cada cubo é aproximadamente (\nabla\cdot\mathbf{F})\Delta V; somando e passando ao limite obtém-se a igualdade do teorema. Isso explica por que divergência (fluxo por volume) se integra para dar o fluxo pela fronteira.

Passo 5

Aplicação imediata do teorema à afirmação do enunciado.
Se \nabla\cdot\mathbf{F}=0 em todo o volume V (isto é, divergence nula em V e \mathbf{F} é suficientemente suave), então a integral de volume do lado esquerdo é zero:
\iiint_{V} (\nabla\cdot\mathbf{F})\,dV = \iiint_{V} 0\,dV = 0.
Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = 0.
Portanto, o fluxo através de qualquer superfície fechada \partial V cuja interior esteja todo em região onde \nabla\cdot\mathbf{F}=0 é zero. Conclusão lógica e direta: divergência nula em V implica fluxo nulo pela superfície fechada que limita V.

Passo 6

Exemplo concreto e verificação direta (cálculo ponto a ponto).
Escolho o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=(-y,\;x,\;0).
  1. Verificação da divergência: calculemos \nabla\cdot\mathbf{F}:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial (-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}+\frac{\partial 0}{\partial z}=0+0+0=0.
Ou seja, a divergência é zero em todo o espaço (campo suave e sem singularidades).
  1. Escolho como superfície fechada a esfera de raio R centrada na origem, denotada por S. Ponto da esfera: (x,y,z) com x^2+y^2+z^2=R^2. A normal exterior unitária é
\mathbf{n}=\frac{(x,y,z)}{R}.
O elemento de área é dS (não precisamos explicitá-lo para ver o integrando). O produto interno é
\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}=(-y,x,0)\cdot\frac{(x,y,z)}{R}=\frac{-yx+xy+0\cdot z}{R}=0.
O integrando \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é identicamente zero em toda a superfície. Logo a integral de superfície vale zero:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\iint_{S}0\,dS=0.
Isso confirma explicitamente, ponto a ponto, a propriedade dada pelo teorema.

Passo 7

Observação importante sobre hipóteses e exceções (para você não se enrolar na prova).
O teorema exige que \mathbf{F} seja continuamente diferenciável na região que contém o volume V e sua fronteira. Se houver singularidade dentro de V (ponto onde \mathbf{F} não é definida ou \nabla\cdot\mathbf{F} não existe), a conclusão pode falhar. Exemplo clássico: \mathbf{G}(\mathbf{r})=\dfrac{\mathbf{r}}{\|\mathbf{r}\|^3} tem \nabla\cdot\mathbf{G}=0 para \mathbf{r}\neq\mathbf{0}, mas na origem é singular; o fluxo através de uma esfera centrada na origem não é zero (cálculo rápido: sobre esfera de raio R, \mathbf{G}\cdot\mathbf{n}=1/R^2, então o fluxo é 4\pi R^2\cdot(1/R^2)=4\pi). Moral: sempre cheque se \mathbf{F} é suave no interior do volume antes de aplicar o teorema.

Passo 8

Resumo direto e encorajador (rápido para a prova).
Se \nabla\cdot\mathbf{F}=0 em um volume V e \mathbf{F} é continuamente diferenciável em V, então pelo Teorema da Divergência o fluxo através de qualquer superfície fechada \partial V é zero. Um exemplo simples é \mathbf{F}=(-y,x,0) e a esfera centrada na origem: divergência zero e fluxo nulo (o integrando é zero ponto a ponto). Se aparecer um campo com singularidade, cuidado — aí a propriedade pode não valer.

Resposta

O fluxo é zero (isto é, \iint_{\partial V}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=0) sempre que \nabla\cdot\mathbf{F}=0 em V e \mathbf{F} for continuamente diferenciável em V.
Exemplo: \mathbf{F}(x,y,z)=(-y,x,0) e superfície a esfera de raio R centrada na origem. Verificação: \nabla\cdot\mathbf{F}=0 e \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=0 em toda a esfera, logo o fluxo é 0.

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