. Seja \vec{A} uma função vetorial das coordenadas esfericas ( r, \theta, \varphi ). Calcule o divergente de \vec{A}, \vec{\nabla} \cdot \vec{A}, e o rotacional de \vec{A}, \vec{\nabla} \times \vec{A}, em coordenadas esfericas.
Passo 1
O enunciado diz: seja \vec{A} uma função vetorial das coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). Pede-se calcular o divergente \vec{\nabla}\cdot\vec{A} e o rotacional \vec{\nabla}\times\vec{A} em coordenadas esféricas.\n
Informações dadas e o que devo entregar:
A variável de posição é descrita por (r,\theta,\varphi).
A função vetorial é \vec{A}= (componentes em base esférica) — não foram especificadas formas concretas das componentes, então devo fornecer fórmulas gerais em termos de A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}.
O objetivo é obter expressões para \vec{\nabla}\cdot\vec{A} e \vec{\nabla}\times\vec{A} em função de r,\theta,\varphi e das componentes A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}.\n
Observação sobre convenção (essencial): uso a convenção usual em física/engenharia: \theta é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo z, com 0\le\theta\le\pi; \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\varphi<2\pi. A base local é \{\hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}\} e a função vetorial será escrita como \vec{A}=A_{r}\,\hat{r}+A_{\theta}\,\hat{\theta}+A_{\varphi}\,\hat{\varphi}.
Passo 2
Entender bem a geometria e as bases: relacione esféricas com cartesianas e como as direções mudam com \theta,\varphi.\n
Definições importantes:
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
Importante: \hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi} variam com r,\theta,\varphi (ao contrário de vetores constantes em coordenadas cartesianas). Por isso, ao diferenciar componentes é preciso levar em conta os fatores geométricos (os chamados fatores de escala).
Passo 3
Apresente a ferramenta que vamos usar: fórmulas em coordenadas ortogonais gerais.\n
Em coordenadas ortogonais u_{1},u_{2},u_{3} com fatores de escala (Lamé) h_{1},h_{2},h_{3}, uma componente vetorial é \vec{A}=A_{1}\,\hat{e}_{1}+A_{2}\,\hat{e}_{2}+A_{3}\,\hat{e}_{3}. As fórmulas úteis (que eu vou justificar por uso direto) são:
com as expressões cíclicas para as outras componentes (permuta 1\to2\to3).\n
Breve explicação do porquê: esses fatores aparecem porque, por exemplo, o elemento de volume é dV=h_{1}h_{2}h_{3}\,du_{1}du_{2}du_{3} e a divergência é a taxa de variação do fluxo por unidade de volume; a expressão do rotacional segue do cálculo do circulo / área projetada com os comprimentos das direções.
Passo 4
Aplique essa estrutura às coordenadas esféricas. Determine os fatores de escala (Lamé) para (u_{1},u_{2},u_{3})=(r,\theta,\varphi).\n
Calcule comprimentos diferenciais:
d\vec{r} em direção radial tem comprimento dr\Rightarrow h_{r}=1.
deslocamento em \theta com r fixo tem comprimento r\,d\theta\Rightarrow h_{\theta}=r.
deslocamento em \varphi com r,\theta fixos tem comprimento r\sin\theta\,d\varphi\Rightarrow h_{\varphi}=r\sin\theta.\n
Portanto:
Essa é a forma frequentemente usada e conveniente para cálculos práticos.
Passo 6
Entender a fórmula com um exemplo simples (ajuda mnemônica e para prova): campo puramente radial \vec{A}=A_{r}(r)\,\hat{r} (isto é, A_{\theta}=A_{\varphi}=0).\n
Aplicando a fórmula:
Interpretação física rápida: fluxo atravessando a superfície esférica de raio r é proporcional a r^{2}A_{r}; divergência é a taxa de variação radial dessa quantidade por unidade de volume.
Passo 7
Agora derive o rotacional componente a componente usando a fórmula geral para coordenadas ortogonais e os fatores de escala esféricos.\n
Fórmula geral (para recordação):
e ciclicamente para as demais componentes. Substitua (u_{1},u_{2},u_{3})=(r,\theta,\varphi), (A_{1},A_{2},A_{3})=(A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}) e h's já calculados.\n
Componente radial (\hat{r}):
Junte todas as componentes com as direções unitárias para escrever \nabla\times\vec{A} na forma vetorial final e comente checagens rápidas.\n
A combinação fica: