. Seja \vec{A} uma função vetorial das coordenadas esfericas ( r, \theta, \varphi ). Calcule o divergente de \vec{A}, \vec{\nabla} \cdot \vec{A}, e o rotacional de \vec{A}, \vec{\nabla} \times \vec{A}, em coordenadas esfericas.

Passo 1

O enunciado diz: seja \vec{A} uma função vetorial das coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). Pede-se calcular o divergente \vec{\nabla}\cdot\vec{A} e o rotacional \vec{\nabla}\times\vec{A} em coordenadas esféricas.\n
Informações dadas e o que devo entregar:
  • A variável de posição é descrita por (r,\theta,\varphi).
  • A função vetorial é \vec{A}= (componentes em base esférica) — não foram especificadas formas concretas das componentes, então devo fornecer fórmulas gerais em termos de A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}.
  • O objetivo é obter expressões para \vec{\nabla}\cdot\vec{A} e \vec{\nabla}\times\vec{A} em função de r,\theta,\varphi e das componentes A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}.\n
    Observação sobre convenção (essencial): uso a convenção usual em física/engenharia:
    \theta é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo z, com 0\le\theta\le\pi; \varphi é o ângulo azimutal no plano xy, com 0\le\varphi<2\pi. A base local é \{\hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi}\} e a função vetorial será escrita como \vec{A}=A_{r}\,\hat{r}+A_{\theta}\,\hat{\theta}+A_{\varphi}\,\hat{\varphi}.

Passo 2

Entender bem a geometria e as bases: relacione esféricas com cartesianas e como as direções mudam com \theta,\varphi.\n
Definições importantes:
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
As direções unitárias dependem dos ângulos:
\hat{r}=\begin{pmatrix}\sin\theta\cos\varphi\\\ \sin\theta\sin\varphi\\\ \cos\theta\end{pmatrix},\quad \hat{\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta\cos\varphi\\\ \cos\theta\sin\varphi\\\\ -\sin\theta\end{pmatrix},\quad \hat{\varphi}=\begin{pmatrix}-\sin\varphi\\\ \cos\varphi\\\\ 0\end{pmatrix}.
Importante: \hat{r},\hat{\theta},\hat{\varphi} variam com r,\theta,\varphi (ao contrário de vetores constantes em coordenadas cartesianas). Por isso, ao diferenciar componentes é preciso levar em conta os fatores geométricos (os chamados fatores de escala).

Passo 3

Apresente a ferramenta que vamos usar: fórmulas em coordenadas ortogonais gerais.\n
Em coordenadas ortogonais u_{1},u_{2},u_{3} com fatores de escala (Lamé) h_{1},h_{2},h_{3}, uma componente vetorial é \vec{A}=A_{1}\,\hat{e}_{1}+A_{2}\,\hat{e}_{2}+A_{3}\,\hat{e}_{3}. As fórmulas úteis (que eu vou justificar por uso direto) são:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{h_{1}h_{2}h_{3}}\Bigl[\partial_{u_{1}}(h_{2}h_{3}A_{1})+\partial_{u_{2}}(h_{3}h_{1}A_{2})+\partial_{u_{3}}(h_{1}h_{2}A_{3})\Bigr],
(\nabla\times\vec{A})_{1}=\frac{1}{h_{2}h_{3}}\Bigl[\partial_{u_{2}}(h_{3}A_{3})-\partial_{u_{3}}(h_{2}A_{2})\Bigr],
com as expressões cíclicas para as outras componentes (permuta 1\to2\to3).\n
Breve explicação do porquê: esses fatores aparecem porque, por exemplo, o elemento de volume é dV=h_{1}h_{2}h_{3}\,du_{1}du_{2}du_{3} e a divergência é a taxa de variação do fluxo por unidade de volume; a expressão do rotacional segue do cálculo do circulo / área projetada com os comprimentos das direções.

Passo 4

Aplique essa estrutura às coordenadas esféricas. Determine os fatores de escala (Lamé) para (u_{1},u_{2},u_{3})=(r,\theta,\varphi).\n
Calcule comprimentos diferenciais:
  • d\vec{r} em direção radial tem comprimento dr \Rightarrow h_{r}=1.
  • deslocamento em \theta com r fixo tem comprimento r\,d\theta \Rightarrow h_{\theta}=r.
  • deslocamento em \varphi com r,\theta fixos tem comprimento r\sin\theta\,d\varphi \Rightarrow h_{\varphi}=r\sin\theta.\n
    Portanto:
h_{r}=1,\qquad h_{\theta}=r,\qquad h_{\varphi}=r\sin\theta.

Passo 5

Usar a fórmula geral da divergência com os fatores de escala esféricos e simplificar passo a passo.\n
A fórmula geral:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{h_{r}h_{\theta}h_{\varphi}}\Bigl[\partial_{r}(h_{\theta}h_{\varphi}A_{r})+\partial_{\theta}(h_{\varphi}h_{r}A_{\theta})+\partial_{\varphi}(h_{r}h_{\theta}A_{\varphi})\Bigr].
Substituindo h's:
h_{r}h_{\theta}h_{\varphi}=1\cdot r\cdot r\sin\theta = r^{2}\sin\theta.
Calcule cada termo dentro dos parênteses:
h_{\theta}h_{\varphi}A_{r}=r\cdot r\sin\theta\;A_{r}=r^{2}\sin\theta\;A_{r},
h_{\varphi}h_{r}A_{\theta}=r\sin\theta\cdot 1\;A_{\theta}=r\sin\theta\;A_{\theta},
h_{r}h_{\theta}A_{\varphi}=1\cdot r\;A_{\varphi}=r\;A_{\varphi}.
Logo,
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\Bigl[\partial_{r}(r^{2}\sin\theta\,A_{r})+\partial_{\theta}(r\sin\theta\,A_{\theta})+\partial_{\varphi}(r\,A_{\varphi})\Bigr].
Agora simplifico cada derivada onde um fator não depende da variável de diferenciação:
\partial_{r}(r^{2}\sin\theta\,A_{r})=\sin\theta\;\partial_{r}(r^{2}A_{r}),
\partial_{\theta}(r\sin\theta\,A_{\theta})=r\;\partial_{\theta}(\sin\theta\,A_{\theta}),
\partial_{\varphi}(r\,A_{\varphi})=r\;\partial_{\varphi}A_{\varphi}.
Substituindo e cancelando fatores:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\Bigl[\sin\theta\,\partial_{r}(r^{2}A_{r})+r\,\partial_{\theta}(\sin\theta A_{\theta})+r\,\partial_{\varphi}A_{\varphi}\Bigr].
Dividindo por r^{2}\sin\theta termo a termo:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}}\partial_{r}(r^{2}A_{r})+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_{\theta}(\sin\theta\,A_{\theta})+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_{\varphi}A_{\varphi}.
Essa é a forma frequentemente usada e conveniente para cálculos práticos.

Passo 6

Entender a fórmula com um exemplo simples (ajuda mnemônica e para prova): campo puramente radial \vec{A}=A_{r}(r)\,\hat{r} (isto é, A_{\theta}=A_{\varphi}=0).\n
Aplicando a fórmula:
\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}A_{r}(r)\bigr).
Interpretação física rápida: fluxo atravessando a superfície esférica de raio r é proporcional a r^{2}A_{r}; divergência é a taxa de variação radial dessa quantidade por unidade de volume.

Passo 7

Agora derive o rotacional componente a componente usando a fórmula geral para coordenadas ortogonais e os fatores de escala esféricos.\n
Fórmula geral (para recordação):
(\nabla\times\vec{A})_{1}=\frac{1}{h_{2}h_{3}}\bigl[\partial_{u_{2}}(h_{3}A_{3})-\partial_{u_{3}}(h_{2}A_{2})\bigr],
e ciclicamente para as demais componentes. Substitua (u_{1},u_{2},u_{3})=(r,\theta,\varphi), (A_{1},A_{2},A_{3})=(A_{r},A_{\theta},A_{\varphi}) e h's já calculados.\n
Componente radial ( \hat{r}):
(\nabla\times\vec{A})_{r}=\frac{1}{h_{\theta}h_{\varphi}}\Bigl[\partial_{\theta}(h_{\varphi}A_{\varphi})-\partial_{\varphi}(h_{\theta}A_{\theta})\Bigr].
Substituindo h_{\theta}=r, h_{\varphi}=r\sin\theta:
(\nabla\times\vec{A})_{r}=\frac{1}{r\cdot r\sin\theta}\Bigl[\partial_{\theta}(r\sin\theta\,A_{\varphi})-\partial_{\varphi}(r\,A_{\theta})\Bigr].
Observe que r é constante na derivada em \theta e \varphi, assim:
(\nabla\times\vec{A})_{r}=\frac{1}{r^{2}\sin\theta}\bigl[r\,\partial_{\theta}(\sin\theta\,A_{\varphi})-r\,\partial_{\varphi}A_{\theta}\bigr] =\frac{1}{r\sin\theta}\Bigl[\partial_{\theta}(\sin\theta\,A_{\varphi})-\partial_{\varphi}A_{\theta}\Bigr].

Passo 8

Componente polar ( \hat{\theta}) e azimutal ( \hat{\varphi}), passo a passo.\n
Componente \hat{\theta} (fórmula cíclica):
(\nabla\times\vec{A})_{\theta}=\frac{1}{h_{\varphi}h_{r}}\Bigl[\partial_{\varphi}(h_{r}A_{r})-\partial_{r}(h_{\varphi}A_{\varphi})\Bigr].
Substituindo h_{\varphi}=r\sin\theta, h_{r}=1:
(\nabla\times\vec{A})_{\theta}=\frac{1}{r\sin\theta}\Bigl[\partial_{\varphi}(A_{r})-\partial_{r}(r\sin\theta\,A_{\varphi})\Bigr].
Separe o termo dependente de \sin\theta:
\partial_{r}(r\sin\theta\,A_{\varphi})=\sin\theta\;\partial_{r}(rA_{\varphi}),
logo
(\nabla\times\vec{A})_{\theta}=\frac{1}{r\sin\theta}\partial_{\varphi}A_{r}-\frac{1}{r}\partial_{r}(rA_{\varphi}).
Reescrevendo numa forma compacta:
(\nabla\times\vec{A})_{\theta}=\frac{1}{r}\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\partial_{\varphi}A_{r}-\partial_{r}(rA_{\varphi})\Bigr].
Componente \hat{\varphi}:
(\nabla\times\vec{A})_{\varphi}=\frac{1}{h_{r}h_{\theta}}\Bigl[\partial_{r}(h_{\theta}A_{\theta})-\partial_{\theta}(h_{r}A_{r})\Bigr].
Substituindo h_{r}=1, h_{\theta}=r:
(\nabla\times\vec{A})_{\varphi}=\frac{1}{r}\Bigl[\partial_{r}(rA_{\theta})-\partial_{\theta}A_{r}\Bigr].

Passo 9

Junte todas as componentes com as direções unitárias para escrever \nabla\times\vec{A} na forma vetorial final e comente checagens rápidas.\n
A combinação fica:
\nabla\times\vec{A}=\hat{r}\,\frac{1}{r\sin\theta}\bigl[\partial_{\theta}(\sin\theta\,A_{\varphi})-\partial_{\varphi}A_{\theta}\bigr] +\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\partial_{\varphi}A_{r}-\partial_{r}(rA_{\varphi})\Bigr] +\hat{\varphi}\,\frac{1}{r}\bigl[\partial_{r}(rA_{\theta})-\partial_{\theta}A_{r}\bigr].
Checagens rápidas (intuitivas e úteis na prova):
  • Se \vec{A}=A_{r}(r)\hat{r} então \nabla\times\vec{A}=0 (campo radial puro tem zero rotacional).
  • As dimensões (fatores 1/r, 1/(r\sin\theta)) coincidem com os comprimentos das direções tangenciais, o que ajuda a lembrar a forma correta em provas.

Resposta

\nabla\cdot\vec{A}=\frac{1}{r^{2}}\partial_{r}\bigl(r^{2}A_{r}\bigr)+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_{\theta}\bigl(\sin\theta\,A_{\theta}\bigr)+\frac{1}{r\sin\theta}\partial_{\varphi}A_{\varphi}
\nabla\times\vec{A}=\hat{r}\,\frac{1}{r\sin\theta}\bigl[\partial_{\theta}(\sin\theta\,A_{\varphi})-\partial_{\varphi}A_{\theta}\bigr] +\hat{\theta}\,\frac{1}{r}\Bigl[\frac{1}{\sin\theta}\partial_{\varphi}A_{r}-\partial_{r}(rA_{\varphi})\Bigr] +\hat{\varphi}\,\frac{1}{r}\bigl[\partial_{r}(rA_{\theta})-\partial_{\theta}A_{r}\bigr]

Exercícios relacionados