. (Symon 3.15) Seja
um vetor que é uma função de
e localizado em um ponto móvel. Determine as componentes de
em um sistema de coordenadas polares cilindricas.
resposta:
resposta:
Passo 1
O que o problema pede: determinar as componentes de
quando o vetor
depende de
e é expresso no sistema de coordenadas polares cilíndricas.
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
onde
,
e
são as componentes escalares dependentes do tempo, e o ângulo
também depende do tempo (logo as base unitárias
e
variam com
). As derivadas temporais
e
podem aparecer na resposta. O vetor unitário
é constante.
Passo 2
Primeiro precisamos das derivadas temporais das bases
e
. Escrevemos essas bases em termos das bases cartesianas
,
:
Derivando em função do tempo (aplicando a regra da cadeia; lembra que
):
Resultado importante (vamos usá‑los muitas vezes):
Passo 3
Calculemos a primeira derivada temporal de
usando a regra do produto (cada componente escalar vezes a base unitária):
Substituindo as derivadas das bases obtidas no passo anterior e
:
Agora agrupamos os termos em
,
e
:
Interpretação rápida: cada componente temporal tem a derivada da própria componente mais termos vindos da rotação das bases.
Passo 4
Para a segunda derivada precisamos também das segundas derivadas das bases. Diferenciando
:
Diferenciando
:
Passo 5
Agora diferenciamos a expressão do passo 3 para obter a segunda derivada. Seja
de modo que
Então
Calculemos
e
usando regra do produto:
Substituindo
e
:
Agora agrupamos os termos em
e
. Para
o coeficiente é
Lembrando
, temos
logo o coeficiente em
fica
Para
o coeficiente é
Lembrando
, temos
portanto o coeficiente em
fica
E o termo na direção
é simplesmente
.
Passo 6
Interpretando: cada componente da segunda derivada tem termos óbvios como
,
,
(segunda derivada das componentes escalares) e termos extras que surgem por causa da rotação das bases (proporcionais a
e
). Esses termos são exatamente os que aparecem quando aplicamos a regra do produto combinada com as derivadas das bases que calculamos. Vai por mim: na prova, escreva primeiro a expressão da primeira derivada em componentes (Passo 3) e depois diferencie termo a termo, lembrando de derivar também as bases.