. (Symon 3.15) Seja \vec{A} um vetor que é uma função de t e localizado em um ponto móvel. Determine as componentes de d^{2} \vec{A} / d t^{2} em um sistema de coordenadas polares cilindricas.
resposta: \left(\ddot{A}_{\rho}-2 \dot{A}_{\varphi} \dot{\varphi}-A_{\varphi} \ddot{\varphi}-A_{\rho} \dot{\varphi}^{2}\right) \hat{\rho}+\left(\ddot{A}_{\varphi}+2 \dot{A}_{\rho} \dot{\varphi}+A_{\rho} \ddot{\varphi}-A_{\varphi} \dot{\varphi}^{2}\right) \hat{\varphi}+\ddot{A}_{z} \hat{k}

Passo 1

O que o problema pede: determinar as componentes de \dfrac{d^{2}\vec{A}}{dt^{2}} quando o vetor \vec{A} depende de t e é expresso no sistema de coordenadas polares cilíndricas.
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):
\vec{A}(t)=A_{\rho}(t)\,\hat{\rho}+A_{\varphi}(t)\,\hat{\varphi}+A_{z}(t)\,\hat{k},
onde A_{\rho}(t), A_{\varphi}(t) e A_{z}(t) são as componentes escalares dependentes do tempo, e o ângulo \varphi=\varphi(t) também depende do tempo (logo as base unitárias \hat{\rho} e \hat{\varphi} variam com t). As derivadas temporais \dot{\varphi}(t) e \ddot{\varphi}(t) podem aparecer na resposta. O vetor unitário \hat{k} é constante.

Passo 2

Primeiro precisamos das derivadas temporais das bases \hat{\rho} e \hat{\varphi}. Escrevemos essas bases em termos das bases cartesianas \hat{i}, \hat{j}:
\hat{\rho}=\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j},
\hat{\varphi}=-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j}.
Derivando em função do tempo (aplicando a regra da cadeia; lembra que \varphi=\varphi(t)):
\dot{\hat{\rho}}=(-\sin\varphi\,\dot{\varphi})\,\hat{i}+(\cos\varphi\,\dot{\varphi})\,\hat{j}=\dot{\varphi}\,(-\sin\varphi\,\hat{i}+\cos\varphi\,\hat{j})=\dot{\varphi}\,\hat{\varphi},
\dot{\hat{\varphi}}=(-\cos\varphi\,\dot{\varphi})\,\hat{i}+(-\sin\varphi\,\dot{\varphi})\,\hat{j}=-\dot{\varphi}\,(\cos\varphi\,\hat{i}+\sin\varphi\,\hat{j})=-\dot{\varphi}\,\hat{\rho}.
Resultado importante (vamos usá‑los muitas vezes):
\dot{\hat{\rho}}=\dot{\varphi}\,\hat{\varphi},\qquad \dot{\hat{\varphi}}=-\dot{\varphi}\,\hat{\rho},\qquad \dot{\hat{k}}=\vec{0}.

Passo 3

Calculemos a primeira derivada temporal de \vec{A} usando a regra do produto (cada componente escalar vezes a base unitária):
\frac{d\vec{A}}{dt}=\dot{A}_{\rho}\,\hat{\rho}+A_{\rho}\,\dot{\hat{\rho}}+\dot{A}_{\varphi}\,\hat{\varphi}+A_{\varphi}\,\dot{\hat{\varphi}}+\dot{A}_{z}\,\hat{k}+A_{z}\,\dot{\hat{k}}.
Substituindo as derivadas das bases obtidas no passo anterior e \dot{\hat{k}}=\vec{0}:
\frac{d\vec{A}}{dt}=\dot{A}_{\rho}\,\hat{\rho}+A_{\rho}\,\dot{\varphi}\,\hat{\varphi}+\dot{A}_{\varphi}\,\hat{\varphi}-A_{\varphi}\,\dot{\varphi}\,\hat{\rho}+\dot{A}_{z}\,\hat{k}.
Agora agrupamos os termos em \hat{\rho}, \hat{\varphi} e \hat{k}:
\frac{d\vec{A}}{dt}=\bigl(\dot{A}_{\rho}-A_{\varphi}\dot{\varphi}\bigr)\,\hat{\rho}+\bigl(\dot{A}_{\varphi}+A_{\rho}\dot{\varphi}\bigr)\,\hat{\varphi}+\dot{A}_{z}\,\hat{k}.
Interpretação rápida: cada componente temporal tem a derivada da própria componente mais termos vindos da rotação das bases.

Passo 4

Para a segunda derivada precisamos também das segundas derivadas das bases. Diferenciando \dot{\hat{\rho}}=\dot{\varphi}\,\hat{\varphi}:
\ddot{\hat{\rho}}=\ddot{\varphi}\,\hat{\varphi}+\dot{\varphi}\,\dot{\hat{\varphi}}=\ddot{\varphi}\,\hat{\varphi}+\dot{\varphi}\,(-\dot{\varphi}\,\hat{\rho})=\ddot{\varphi}\,\hat{\varphi}-\dot{\varphi}^{2}\,\hat{\rho}.
Diferenciando \dot{\hat{\varphi}}=-\dot{\varphi}\,\hat{\rho}:
\ddot{\hat{\varphi}}=-\ddot{\varphi}\,\hat{\rho}-\dot{\varphi}\,\dot{\hat{\rho}}=-\ddot{\varphi}\,\hat{\rho}-\dot{\varphi}\,(\dot{\varphi}\,\hat{\varphi})=-\ddot{\varphi}\,\hat{\rho}-\dot{\varphi}^{2}\,\hat{\varphi}.

Passo 5

Agora diferenciamos a expressão do passo 3 para obter a segunda derivada. Seja
C_{\rho}=\dot{A}_{\rho}-A_{\varphi}\dot{\varphi},\qquad C_{\varphi}=\dot{A}_{\varphi}+A_{\rho}\dot{\varphi},\qquad C_{z}=\dot{A}_{z},
de modo que
\frac{d\vec{A}}{dt}=C_{\rho}\,\hat{\rho}+C_{\varphi}\,\hat{\varphi}+C_{z}\,\hat{k}.
Então
\frac{d^{2}\vec{A}}{dt^{2}}=\dot{C}_{\rho}\,\hat{\rho}+C_{\rho}\,\dot{\hat{\rho}}+\dot{C}_{\varphi}\,\hat{\varphi}+C_{\varphi}\,\dot{\hat{\varphi}}+\ddot{A}_{z}\,\hat{k}.
Calculemos \dot{C}_{\rho} e \dot{C}_{\varphi} usando regra do produto:
\dot{C}_{\rho}=\ddot{A}_{\rho}-\bigl(\dot{A}_{\varphi}\dot{\varphi}+A_{\varphi}\ddot{\varphi}\bigr),
\dot{C}_{\varphi}=\ddot{A}_{\varphi}+\bigl(\dot{A}_{\rho}\dot{\varphi}+A_{\rho}\ddot{\varphi}\bigr).
Substituindo \dot{\hat{\rho}}=\dot{\varphi}\,\hat{\varphi} e \dot{\hat{\varphi}}=-\dot{\varphi}\,\hat{\rho}:
\begin{aligned} \frac{d^{2}\vec{A}}{dt^{2}} &=\bigl(\ddot{A}_{\rho}-\dot{A}_{\varphi}\dot{\varphi}-A_{\varphi}\ddot{\varphi}\bigr)\hat{\rho} +\;C_{\rho}\,\dot{\varphi}\,\hat{\varphi}\\\ &\quad+\bigl(\ddot{A}_{\varphi}+\dot{A}_{\rho}\dot{\varphi}+A_{\rho}\ddot{\varphi}\bigr)\hat{\varphi} -\;C_{\varphi}\,\dot{\varphi}\,\hat{\rho} +\ddot{A}_{z}\,\hat{k}. \end{aligned}
Agora agrupamos os termos em \hat{\rho} e \hat{\varphi}. Para \hat{\rho} o coeficiente é
\ddot{A}_{\rho}-\dot{A}_{\varphi}\dot{\varphi}-A_{\varphi}\ddot{\varphi}-C_{\varphi}\dot{\varphi}.
Lembrando C_{\varphi}=\dot{A}_{\varphi}+A_{\rho}\dot{\varphi}, temos
C_{\varphi}\dot{\varphi}=\dot{A}_{\varphi}\dot{\varphi}+A_{\rho}\dot{\varphi}^{2},
logo o coeficiente em \hat{\rho} fica
\ddot{A}_{\rho}-2\dot{A}_{\varphi}\dot{\varphi}-A_{\varphi}\ddot{\varphi}-A_{\rho}\dot{\varphi}^{2}.
Para \hat{\varphi} o coeficiente é
C_{\rho}\dot{\varphi}+\ddot{A}_{\varphi}+\dot{A}_{\rho}\dot{\varphi}+A_{\rho}\ddot{\varphi}.
Lembrando C_{\rho}=\dot{A}_{\rho}-A_{\varphi}\dot{\varphi}, temos
C_{\rho}\dot{\varphi}=\dot{A}_{\rho}\dot{\varphi}-A_{\varphi}\dot{\varphi}^{2},
portanto o coeficiente em \hat{\varphi} fica
\ddot{A}_{\varphi}+2\dot{A}_{\rho}\dot{\varphi}+A_{\rho}\ddot{\varphi}-A_{\varphi}\dot{\varphi}^{2}.
E o termo na direção \hat{k} é simplesmente \ddot{A}_{z}.

Passo 6

Interpretando: cada componente da segunda derivada tem termos óbvios como \ddot{A}_{\rho}, \ddot{A}_{\varphi}, \ddot{A}_{z} (segunda derivada das componentes escalares) e termos extras que surgem por causa da rotação das bases (proporcionais a \dot{\varphi} e \ddot{\varphi}). Esses termos são exatamente os que aparecem quando aplicamos a regra do produto combinada com as derivadas das bases que calculamos. Vai por mim: na prova, escreva primeiro a expressão da primeira derivada em componentes (Passo 3) e depois diferencie termo a termo, lembrando de derivar também as bases.

Resposta

\left(\ddot{A}_{\rho}-2 \dot{A}_{\varphi} \dot{\varphi}-A_{\varphi} \ddot{\varphi}-A_{\rho} \dot{\varphi}^{2}\right) \hat{\rho}+\left(\ddot{A}_{\varphi}+2 \dot{A}_{\rho} \dot{\varphi}+A_{\rho} \ddot{\varphi}-A_{\varphi} \dot{\varphi}^{2}\right) \hat{\varphi}+\ddot{A}_{z} \hat{k}

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