. (Symon 3.11) Uma partícula desloca-se em torno de um semi-círculo de raio R, a partir da extremidade A do diâmetro para a outra extremidade B. Ela é atraida em direção ao ponto de partida A por uma força proporcional à sua distância de A. Quando a partícula está em B, a força na direção de A é igual a F_{0}. Calcule o trabalho realizado contra esta força, quando a partícula se move em torno do semi-círculo de A para B.
resposta: F_{0} R

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • A partícula descreve um semi-círculo de raio \;R\; partindo da extremidade A do diâmetro até a outra extremidade B.
  • Há uma força que sempre aponta na direção de A e cuja intensidade é proporcional à distância da partícula a A.
  • Quando a partícula está em B, a intensidade dessa força é \;F_{0}\;.
  • Pergunta: calcular o trabalho realizado contra essa força quando a partícula se desloca ao longo do semi-círculo de A para B.

Passo 2

Vamos traduzir a informação "força proporcional à distância de A" em uma expressão matemática simples e fixar notação.
  • Denotemos por \vec{r} o vetor posição da partícula medido a partir de A. Assim \;r=|\vec{r}|\; é a distância da partícula até A.
  • A força é dirigida para A, portanto tem a forma
\vec{F} = -k\,\vec{r},
onde k>0 é a constante de proporcionalidade (número que mede “quão forte” é a atração por unidade de distância). Aqui \vec{r} aponta de A para a partícula, e o sinal menos indica que \vec{F} aponta no sentido oposto (para A).
  • Quando a partícula está em B, a distância até A é a do ponto B à A. Como A e B são extremos do diâmetro, essa distância é \;2R\;. Assim o módulo da força em B é
F_0 = |\vec{F}(B)| = k\cdot (2R).
  • Dessa relação resolvemos para k:
k = \frac{F_0}{2R}.

Passo 3

Agora pense no trabalho contra a força. Há dois pontos de vista equivalentes: (a) calcular diretamente a integral de linha da componente tangencial da força ao longo do arco, ou (b) usar que a força tem forma linear em \vec{r} (isto é, \vec{F}=-k\vec{r}) — uma força conservativa com energia potencial conhecida — e então usar diferença de energia potencial entre os pontos. O método (b) é mais curto e menos sujeito a integrais trigonométricas pesadas, então vamos usá-lo. Vou explicar por quê isso é válido.
  • Uma força que pode ser escrita como \vec{F}=-\nabla U(\vec{r}) é denominada conservativa; para ela o trabalho entre dois pontos independe do caminho e pode ser obtido pela diferença de energia potencial U.
  • No caso \vec{F}=-k\vec{r} podemos encontrar U(r) integrando a relação radial. Escrevendo a componente radial (escalares) temos F_r = -k r (positivo para afastar, negativo para atrair), e a relação com potencial é
\frac{dU}{dr} = -F_r.
Substituímos F_r=-kr e obtemos
\frac{dU}{dr} = -(-k r) = k r.
Integrando em r,
U(r) = \int k r\,dr = \frac{1}{2}k r^2 + C,
onde C é uma constante arbitrária (podemos escolher C=0 fixando a referência de energia).

Passo 4

Interpretação física do trabalho contra a força usando a energia potencial.
  • O trabalho realizado contra a força quando a partícula vai de A para B é exatamente a variação da energia potencial entre A e B:
W_{\text{contra}} = U(B)-U(A).
Isso vem da definição: o trabalho feito pelo agente externo para mover contra a força conservativa é igual ao aumento da energia potencial.

Passo 5

Calcule U(A) e U(B) usando U(r)=\tfrac{1}{2}k r^2 (escolhendo C=0).
  • Em A a distância para A é r_A=0, logo
U(A)=\frac{1}{2}k(0)^2=0.
  • Em B a distância para A é r_B=2R, logo
U(B)=\frac{1}{2}k(2R)^2=\frac{1}{2}k\cdot 4R^2 = 2kR^2.
Portanto
W_{\text{contra}} = U(B)-U(A)=2kR^2-0=2kR^2.

Passo 6

Substitua o valor de k encontrado no Passo 2: k=\dfrac{F_0}{2R}.
  • Assim
W_{\text{contra}} = 2\left(\frac{F_0}{2R}\right)R^2 = 2\cdot\frac{F_0}{2R}\cdot R^2 = F_0 R.

Passo 7

Comentários finais e intuição (rápida e amigável).
  • Intuitivamente: a força cresce linearmente com a distância até A, então deslocar a partícula de 0 até 2R acumula uma energia proporcional a r^2; a conta mostra que o trabalho contra a força ao seguir o arco é exatamente o mesmo que se você levasse a partícula radialmente de A até B. Isso ocorre porque a força é conservativa e depende só de r, não da direção do caminho.
  • Resultado simples e elegante: W_{\text{contra}}=F_0 R. Dá um alívio quando aparece um número redondinho assim!

Resposta

F_{0}R

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