. (Symon 3.11) Uma partícula desloca-se em torno de um semi-círculo de raio
, a partir da extremidade
do diâmetro para a outra extremidade
. Ela é atraida em direção ao ponto de partida
por uma força proporcional à sua distância de
. Quando a partícula está em
, a força na direção de
é igual a
. Calcule o trabalho realizado contra esta força, quando a partícula se move em torno do semi-círculo de
para
.
resposta:
resposta:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- A partícula descreve um semi-círculo de raio
partindo da extremidade do diâmetro até a outra extremidade . - Há uma força que sempre aponta na direção de
e cuja intensidade é proporcional à distância da partícula a . - Quando a partícula está em
, a intensidade dessa força é . - Pergunta: calcular o trabalho realizado contra essa força quando a partícula se desloca ao longo do semi-círculo de
para .
Passo 2
Vamos traduzir a informação "força proporcional à distância de
" em uma expressão matemática simples e fixar notação.
- Denotemos por
o vetor posição da partícula medido a partir de . Assim é a distância da partícula até . - A força é dirigida para
, portanto tem a forma
onde
é a constante de proporcionalidade (número que mede “quão forte” é a atração por unidade de distância). Aqui
aponta de
para a partícula, e o sinal menos indica que
aponta no sentido oposto (para
).
- Quando a partícula está em
, a distância até é a do ponto à . Como e são extremos do diâmetro, essa distância é . Assim o módulo da força em é
- Dessa relação resolvemos para
:
Passo 3
Agora pense no trabalho contra a força. Há dois pontos de vista equivalentes: (a) calcular diretamente a integral de linha da componente tangencial da força ao longo do arco, ou (b) usar que a força tem forma linear em
(isto é,
) — uma força conservativa com energia potencial conhecida — e então usar diferença de energia potencial entre os pontos. O método (b) é mais curto e menos sujeito a integrais trigonométricas pesadas, então vamos usá-lo. Vou explicar por quê isso é válido.
- Uma força que pode ser escrita como
é denominada conservativa; para ela o trabalho entre dois pontos independe do caminho e pode ser obtido pela diferença de energia potencial . - No caso
podemos encontrar integrando a relação radial. Escrevendo a componente radial (escalares) temos (positivo para afastar, negativo para atrair), e a relação com potencial é
Substituímos
e obtemos
Integrando em
,
onde
é uma constante arbitrária (podemos escolher
fixando a referência de energia).
Passo 4
Interpretação física do trabalho contra a força usando a energia potencial.
- O trabalho realizado contra a força quando a partícula vai de
para é exatamente a variação da energia potencial entre e :
Isso vem da definição: o trabalho feito pelo agente externo para mover contra a força conservativa é igual ao aumento da energia potencial.
Passo 5
Calcule
e
usando
(escolhendo
).
- Em
a distância para é , logo
- Em
a distância para é , logo
Portanto
Passo 6
Substitua o valor de
encontrado no Passo 2:
.
- Assim
Passo 7
Comentários finais e intuição (rápida e amigável).
- Intuitivamente: a força cresce linearmente com a distância até
, então deslocar a partícula de até acumula uma energia proporcional a ; a conta mostra que o trabalho contra a força ao seguir o arco é exatamente o mesmo que se você levasse a partícula radialmente de até . Isso ocorre porque a força é conservativa e depende só de , não da direção do caminho. - Resultado simples e elegante:
. Dá um alívio quando aparece um número redondinho assim!