Mostre que a curva \r \vec{r}(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right)\r é regular.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva \vec{r}(t) = \bigl(t,\,t^2,\,t^3\bigr)
é regular. Em cálculo vetorial, uma curva é dita regular se sua velocidade \vec{r}\,'(t)
não for o vetor nulo para nenhum t. Logo, precisamos calcular \vec{r}\,'(t) e verificar que ele nunca é \bigl(0,0,0\bigr).

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\vec{r}\,'(t) = \Bigl(\frac{d}{dt}t,\;\frac{d}{dt}t^2,\;\frac{d}{dt}t^3\Bigr) = \bigl(1,\;2t,\;3t^2\bigr).

Passo 3

Para que \vec{r}\,'(t) fosse o vetor nulo, precisaríamos de
1 = 0,\quad 2t = 0,\quad 3t^2 = 0.
Mas a primeira igualdade, 1=0, é impossível. Portanto \vec{r}\,'(t) nunca é o vetor nulo.

Resposta

A curva \vec{r}(t) = (t,t^2,t^3) é regular, pois sua derivada \vec{r}\,'(t) = (1,2t,3t^2) nunca se anula.

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