Seja
intervalo, derivável até a
ordem. Suponha que
forneça a posição, no instante
, de um ponto
que se move no espaço. Suponhamos a velocidade
e a aceleração
de
, no instante
, por:
Determine
e
, sendo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a velocidade
e a aceleração
do ponto
cuja posição é dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função posição
está dada componente a componente: a componente é , a componente é e a componente é . - Precisamos calcular
e . - Não há outras condições ou parâmetros:
é a variável independente (tempo).
Passo 2
Lembrete prático (regra que vamos usar): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
então
Explicando a ideia por trás disso: cada coordenada escala o respectivo versor
; como esses versores são constantes (não dependem de
), a derivada passa só para as funções escalares
.
Passo 3
Vamos identificar e derivar cada componente de
.
- Componente
. Lembrete da derivada: . Isto vem da regra básica de derivação das funções trigonométricas. - Componente
. Lembrete: . - Componente
. Novamente .
Então as derivadas das componentes são
Passo 4
Usando a regra componente a componente do Passo 2, escrevemos as componentes da velocidade (ainda em forma separada para não repetir a resposta final neste passo):
Aqui você já consegue ver o que a velocidade faz: ao longo do eixo
e
o ponto se move com velocidade constante
; ao longo do eixo
a velocidade é
, que varia no tempo.
Passo 5
Para obter a aceleração
derivamos
componente a componente (mesma regra). Portanto precisamos das derivadas:
- Derivada de
: (pois ). - Derivada de
: . - Derivada de
: .
Logo as componentes da aceleração são
Passo 6
Interpretação rápida (para fixar): a aceleração só tem componente na direção
. Isso faz sentido porque as componentes
e
da posição são lineares em
(movimento retilíneo uniforme nessas direções), enquanto a componente
é
, movimento oscilatório que gera aceleração não nula em
.