Seja \vec{r}: I \rightarrow \mathbb{R}^{3}, I intervalo, derivável até a 2^{\text {a }} ordem. Suponha que \vec{r}(t) forneça a posição, no instante t, de um ponto P que se move no espaço. Suponhamos a velocidade \vec{v}(t) e a aceleração \vec{a}(t) de P, no instante t, por:
\vec{v}(t)=\frac{d \vec{r}}{d t}, \quad \vec{a}(t)=\frac{d \vec{v}}{d t}=\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}}
Determine \vec{v}(t) e \vec{a}(t), sendo:
\vec{r}(t)=\cos t \vec{i}+t \vec{j}+t \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a velocidade \vec{v}(t) e a aceleração \vec{a}(t) do ponto P cuja posição é dada por
\vec{r}(t)=\cos t\,\vec{i}+t\,\vec{j}+t\,\vec{k}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função posição \vec{r}(t) está dada componente a componente: a componente x é \cos t, a componente y é t e a componente z é t.
  • Precisamos calcular \vec{v}(t)=\dfrac{d\vec{r}}{dt} e \vec{a}(t)=\dfrac{d\vec{v}}{dt}=\dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}.
  • Não há outras condições ou parâmetros: t é a variável independente (tempo).

Passo 2

Lembrete prático (regra que vamos usar): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\vec{r}(t)=x(t)\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}+z(t)\,\vec{k},
então
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=x'(t)\,\vec{i}+y'(t)\,\vec{j}+z'(t)\,\vec{k}.
Explicando a ideia por trás disso: cada coordenada escala o respectivo versor \vec{i},\vec{j},\vec{k}; como esses versores são constantes (não dependem de t), a derivada passa só para as funções escalares x(t),y(t),z(t).

Passo 3

Vamos identificar e derivar cada componente de \vec{r}(t).
  • Componente x(t)=\cos t. Lembrete da derivada: \dfrac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t. Isto vem da regra básica de derivação das funções trigonométricas.
  • Componente y(t)=t. Lembrete: \dfrac{d}{dt}(t)=1.
  • Componente z(t)=t. Novamente \dfrac{d}{dt}(t)=1.
Então as derivadas das componentes são
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=1,\qquad z'(t)=1.

Passo 4

Usando a regra componente a componente do Passo 2, escrevemos as componentes da velocidade (ainda em forma separada para não repetir a resposta final neste passo):
\text{componente }x\text{ da velocidade: }v_x(t)=-\sin t,
\text{componente }y\text{ da velocidade: }v_y(t)=1,
\text{componente }z\text{ da velocidade: }v_z(t)=1.
Aqui você já consegue ver o que a velocidade faz: ao longo do eixo y e z o ponto se move com velocidade constante 1; ao longo do eixo x a velocidade é -\sin t, que varia no tempo.

Passo 5

Para obter a aceleração \vec{a}(t) derivamos \vec{v}(t) componente a componente (mesma regra). Portanto precisamos das derivadas:
  • Derivada de v_x(t)=-\sin t: \dfrac{d}{dt}(-\sin t)=-\cos t (pois \dfrac{d}{dt}(\sin t)=\cos t).
  • Derivada de v_y(t)=1: \dfrac{d}{dt}(1)=0.
  • Derivada de v_z(t)=1: \dfrac{d}{dt}(1)=0.
Logo as componentes da aceleração são
a_x(t)=-\cos t,\qquad a_y(t)=0,\qquad a_z(t)=0.

Passo 6

Interpretação rápida (para fixar): a aceleração só tem componente na direção x. Isso faz sentido porque as componentes y e z da posição são lineares em t (movimento retilíneo uniforme nessas direções), enquanto a componente x é \cos t, movimento oscilatório que gera aceleração não nula em x.

Resposta

\vec{v}(t)=-\sin t\,\vec{i}+1\,\vec{j}+1\,\vec{k}
\vec{a}(t)=-\cos t\,\vec{i}+0\,\vec{j}+0\,\vec{k}

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