Seja
\vec{r}(t)=a \cos (\omega t) \vec{i}+b(\omega t) \vec{j}
onde a, b e \omega são constantes não nulas. Mostre que
\frac{d^{2} \vec{r}}{d t^{2}}=-\omega^{2} \vec{r}

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \vec{r}(t) e afirma que a, b e \omega são constantes não nulas. As informações e o que se pede são:
  • Dado \vec{r}(t)=a\cos(\omega t)\,\vec{i}+b(\omega t)\,\vec{j}.
  • O enunciado pede para mostrar que \dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-\omega^{2}\vec{r}.
Observação importante sobre a notação: a expressão b(\omega t) está ambígua se entendida literalmente, porque b foi declarado constante. Para que a identidade solicitada seja verdadeira é necessário que a dependência temporal na componente \vec{j} seja uma função trigonométrica com o mesmo argumento \omega t (por exemplo \cos(\omega t) ou \sin(\omega t)). Vou assumir, para proceder com a demonstração, que a intenção do enunciado é
\vec{r}(t)=a\cos(\omega t)\,\vec{i}+b\cos(\omega t)\,\vec{j},
isto é, a segunda componente é b\cos(\omega t). (Se a componente \vec{j} fosse b\sin(\omega t) a demonstração é análoga e o resultado final é o mesmo.)

Passo 2

Vou lembrar as regras de diferenciação que vou usar (com explicação didática e exemplos simples):
  • Regra da derivada de uma soma e da linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes podem sair da derivada. Por exemplo, \dfrac{d}{dt}\big(c\cdot f(t)\big)=c\cdot f'(t) se c é constante.
  • Regra da cadeia (essencial aqui): se u(t) é uma função de t e F(u) é uma função de u, então
\frac{d}{dt}F\big(u(t)\big)=F'(u(t))\cdot u'(t).
Aplicação concreta: a derivada de \cos(\omega t) em relação a t é
\frac{d}{dt}\cos(\omega t) = -\sin(\omega t)\cdot\frac{d}{dt}(\omega t) = -\sin(\omega t)\cdot\omega = -\omega\sin(\omega t).
Explicando passo a passo: a derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u); como u=\omega t, multiplica-se pela derivada de u, que é \omega (constante).

Passo 3

Calcular a primeira derivada \dfrac{d\vec{r}}{dt} componente a componente, usando linearidade e a regra da cadeia explicada:
\vec{r}(t)=a\cos(\omega t)\,\vec{i}+b\cos(\omega t)\,\vec{j}.
Derivando:
\frac{d\vec{r}}{dt} = a\frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big)\,\vec{i} + b\frac{d}{dt}\big(\cos(\omega t)\big)\,\vec{j}.
Usando \dfrac{d}{dt}\cos(\omega t)=-\omega\sin(\omega t) (Passo 2):
\frac{d\vec{r}}{dt} = a\big(-\omega\sin(\omega t)\big)\,\vec{i} + b\big(-\omega\sin(\omega t)\big)\,\vec{j}.
Agrupando o fator comum -\omega\sin(\omega t):
\frac{d\vec{r}}{dt} = -\omega\sin(\omega t)\,\big(a\,\vec{i}+b\,\vec{j}\big).

Passo 4

Agora calculo a segunda derivada \dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} diferenciando \dfrac{d\vec{r}}{dt}. Vou diferenciar componente a componente novamente e usar a regra da cadeia para a função \sin(\omega t):
\frac{d\vec{r}}{dt} = -\omega a\sin(\omega t)\,\vec{i} \;-\; \omega b\sin(\omega t)\,\vec{j}.
Derivando cada termo: a derivada de \sin(\omega t) é \omega\cos(\omega t). Então
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} = -\omega a \cdot \frac{d}{dt}\big(\sin(\omega t)\big)\,\vec{i} - \omega b \cdot \frac{d}{dt}\big(\sin(\omega t)\big)\,\vec{j}.
Substituindo \dfrac{d}{dt}\sin(\omega t)=\omega\cos(\omega t):
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} = -\omega a \cdot \big(\omega\cos(\omega t)\big)\,\vec{i} - \omega b \cdot \big(\omega\cos(\omega t)\big)\,\vec{j}.
Simplificando os fatores \omega\cdot\omega=\omega^{2}:
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} = -\omega^{2} a\cos(\omega t)\,\vec{i} - \omega^{2} b\cos(\omega t)\,\vec{j}.

Passo 5

Fatorando -\omega^{2} da expressão do Passo 4:
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} = -\omega^{2}\big(a\cos(\omega t)\,\vec{i}+b\cos(\omega t)\,\vec{j}\big).
Reconhecendo a expressão entre parênteses como exatamente \vec{r}(t), obtemos
\frac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}} = -\omega^{2}\vec{r}(t).

Resposta

\dfrac{d^{2}\vec{r}}{dt^{2}}=-\omega^{2}\vec{r}

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