Seja \vec{A}=A_{x} \hat{a}_{x}+A_{y} \hat{a}_{y}+A_{z} \hat{a}_{z} e f=f(x, y, z) definidos no sistema de coordenadas cartesianas, prove as identidades vetoriais da regra da cadeia com divergente e rotacional. \vec{\nabla} \cdot(f \vec{A})=A \cdot \vec{\nabla} f+f \vec{\nabla} \cdot \vec{A}
Passo 1
O enunciado nos dá:
Um campo vetorial \vec{A} com componentes \,A_x, A_y, A_z escritos como \vec{A}=A_{x}\,\hat{a}_{x}+A_{y}\,\hat{a}_{y}+A_{z}\,\hat{a}_{z}.
Uma função escalar f=f(x,y,z).
O que se pede provar (duas identidades relacionadas à “regra da cadeia”):
e o mesmo vale para derivação em y e z. Essa é a versão componente-da-regra-do-produto (não é a “regra da cadeia” no sentido de composição, mas é a regra do produto que usamos para a identidade requerida).
Passo 4
Calculemos a divergência do produto f\vec{A} usando a definição:
O primeiro parêntese é justamente a componente x de \vec{\nabla}f\times\vec{A} e o segundo é a componente x de f\,\vec{\nabla}\times\vec{A}. Fazendo o mesmo cálculo para as componentes y e z (mesma ideia: aplicar regra do produto e recolher termos), obtemos componente a componente que
Logo a identidade para o rotacional também está demonstrada.
Passo 6
A ideia essencial é sempre expandir na forma de componentes e aplicar a regra do produto para derivadas parciais; depois reunir os termos que contêm derivadas de f (formando \vec{A}\cdot\vec{\nabla}f ou \vec{\nabla}f\times\vec{A}) e os que contêm derivadas das componentes de \vec{A} (formando f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A} ou f\,\vec{\nabla}\times\vec{A}).
Em prova: escreva claramente as definições de \vec{\nabla}\cdot e \vec{\nabla}\times em componentes, aplique a regra do produto e mostre o agrupamento — é curto e seguro.
Requisito técnico: as deriva-das parciais devem existir (campo suave o bastante) para que as manipulações sejam válidas.