Seja \vec{A}=A_{x} \hat{a}_{x}+A_{y} \hat{a}_{y}+A_{z} \hat{a}_{z} e f=f(x, y, z) definidos no sistema de coordenadas cartesianas, prove as identidades vetoriais da regra da cadeia com divergente e rotacional.
\vec{\nabla} \cdot(f \vec{A})=A \cdot \vec{\nabla} f+f \vec{\nabla} \cdot \vec{A}

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Um campo vetorial \vec{A} com componentes \,A_x, A_y, A_z escritos como \vec{A}=A_{x}\,\hat{a}_{x}+A_{y}\,\hat{a}_{y}+A_{z}\,\hat{a}_{z}.
  • Uma função escalar f=f(x,y,z).
    O que se pede provar (duas identidades relacionadas à “regra da cadeia”):
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})= \vec{A}\cdot\vec{\nabla}f + f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}
e a identidade análoga para o rotacional
\vec{\nabla}\times(f\vec{A})=\vec{\nabla}f\times\vec{A}+f\,\vec{\nabla}\times\vec{A}.
Pressuposições necessárias: f e as componentes A_x,A_y,A_z são diferenciáveis (têm derivadas parciais contínuas) no domínio considerado.

Passo 2

Vamos lembrar as definições e notação que vamos usar (tudo em coordenadas cartesianas):
  • O operador nabla é \vec{\nabla}=\hat{a}_x\frac{\partial}{\partial x}+\hat{a}_y\frac{\partial}{\partial y}+\hat{a}_z\frac{\partial}{\partial z}.
  • O gradiente de f é
\vec{\nabla}f=\hat{a}_x\frac{\partial f}{\partial x}+\hat{a}_y\frac{\partial f}{\partial y}+\hat{a}_z\frac{\partial f}{\partial z}.
  • A divergência de um campo vetorial \vec{B}=B_x\hat{a}_x+B_y\hat{a}_y+B_z\hat{a}_z é
\vec{\nabla}\cdot\vec{B}=\frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}.
  • O produto escalar entre \vec{A} e \vec{\nabla}f escreve-se componente a componente:
\vec{A}\cdot\vec{\nabla}f = A_x\frac{\partial f}{\partial x}+A_y\frac{\partial f}{\partial y}+A_z\frac{\partial f}{\partial z}.
  • O rotacional (curl) de \vec{B} tem componentes
\vec{\nabla}\times\vec{B} = \begin{pmatrix} \frac{\partial B_z}{\partial y}-\frac{\partial B_y}{\partial z}\\[4pt] \frac{\partial B_x}{\partial z}-\frac{\partial B_z}{\partial x}\\[4pt] \frac{\partial B_y}{\partial x}-\frac{\partial B_x}{\partial y} \end{pmatrix},
ou seja, cada componente é dada por uma diferença apropriada de derivadas parciais.]

Passo 3

Recordar a regra do produto (Leibniz) para derivadas parciais: se g(x,y,z) e h(x,y,z) são funções diferenciáveis, então
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(g\,h\bigr)=g\,\frac{\partial h}{\partial x}+h\,\frac{\partial g}{\partial x},
e o mesmo vale para derivação em y e z. Essa é a versão componente-da-regra-do-produto (não é a “regra da cadeia” no sentido de composição, mas é a regra do produto que usamos para a identidade requerida).

Passo 4

Calculemos a divergência do produto f\vec{A} usando a definição:
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A}) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(f A_x\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(f A_y\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(f A_z\bigr).
Agora aplicamos a regra do produto a cada termo (cada derivada parcial):
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(f A_x\bigr) = A_x\frac{\partial f}{\partial x} + f\frac{\partial A_x}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f A_y\bigr) = A_y\frac{\partial f}{\partial y} + f\frac{\partial A_y}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(f A_z\bigr) = A_z\frac{\partial f}{\partial z} + f\frac{\partial A_z}{\partial z}.
Somando as três expressões obtemos
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A}) = \bigl(A_x\frac{\partial f}{\partial x}+A_y\frac{\partial f}{\partial y}+A_z\frac{\partial f}{\partial z}\bigr) + f\bigl(\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\bigr).
Reconhecendo as definições em Passo 2, isso é exatamente
\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})=\vec{A}\cdot\vec{\nabla}f+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}.
Assim a identidade da divergência está demonstrada.

Passo 5

Aplicamos a definição componente a componente. Calculemos, por exemplo, a componente x do rotacional de f\vec{A}:
\bigl(\vec{\nabla}\times(f\vec{A})\bigr)_x = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(f A_z\bigr)-\frac{\partial}{\partial z}\bigl(f A_y\bigr).
Usando a regra do produto em cada derivada:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(f A_z\bigr)=A_z\frac{\partial f}{\partial y}+f\frac{\partial A_z}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(f A_y\bigr)=A_y\frac{\partial f}{\partial z}+f\frac{\partial A_y}{\partial z}.
Subtraindo:
\bigl(\vec{\nabla}\times(f\vec{A})\bigr)_x = \bigl(A_z\frac{\partial f}{\partial y}-A_y\frac{\partial f}{\partial z}\bigr) + f\bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\bigr).
O primeiro parêntese é justamente a componente x de \vec{\nabla}f\times\vec{A} e o segundo é a componente x de f\,\vec{\nabla}\times\vec{A}. Fazendo o mesmo cálculo para as componentes y e z (mesma ideia: aplicar regra do produto e recolher termos), obtemos componente a componente que
\vec{\nabla}\times(f\vec{A})=\vec{\nabla}f\times\vec{A}+f\,\vec{\nabla}\times\vec{A}.
Logo a identidade para o rotacional também está demonstrada.

Passo 6

  • A ideia essencial é sempre expandir na forma de componentes e aplicar a regra do produto para derivadas parciais; depois reunir os termos que contêm derivadas de f (formando \vec{A}\cdot\vec{\nabla}f ou \vec{\nabla}f\times\vec{A}) e os que contêm derivadas das componentes de \vec{A} (formando f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A} ou f\,\vec{\nabla}\times\vec{A}).
  • Em prova: escreva claramente as definições de \vec{\nabla}\cdot e \vec{\nabla}\times em componentes, aplique a regra do produto e mostre o agrupamento — é curto e seguro.
  • Requisito técnico: as deriva-das parciais devem existir (campo suave o bastante) para que as manipulações sejam válidas.

Resposta

\vec{\nabla}\cdot(f\vec{A})=\vec{A}\cdot\vec{\nabla}f+f\,\vec{\nabla}\cdot\vec{A}
\vec{\nabla}\times(f\vec{A})=\vec{\nabla}f\times\vec{A}+f\,\vec{\nabla}\times\vec{A}

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