Determine
\int_{C}\left(\sin \varphi \hat{a}_{r}+r \cos \varphi \hat{a}_{\varphi}+\tan \varphi \hat{a}_{z}\right) \cdot d \vec{l}
em que C é o arco de circunferência orientado, definido por r=3, z=0, e 0 \leq \varphi \leq \pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
\int_{C}\left(\sin \varphi \,\hat{a}_{r}+r \cos \varphi \,\hat{a}_{\varphi}+\tan \varphi \,\hat{a}_{z}\right)\cdot d\vec{l},
onde a curva C é o arco de circunferência dado por r=3,\; z=0 e \;0\le\varphi\le\pi/2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Campo vetorial: \vec{F}(\,r,\varphi,z\,)=\sin\varphi\,\hat{a}_r + r\cos\varphi\,\hat{a}_\varphi + \tan\varphi\,\hat{a}_z.
  • Curva C: é um arco de círculo em coordenadas cilíndricas com r=3 fixo, z=0, e \varphi variando de 0 até \pi/2.
  • O que se pede: o valor numérico da integral de linha \displaystyle\int_C \vec{F}\cdot d\vec l.

Passo 2

Lembrar a expressão do elemento de linha em coordenadas cilíndricas. Para um deslocamento infinitesimal em cilindricas vale
d\vec{l}=dr\,\hat{a}_r + r\,d\varphi\,\hat{a}_\varphi + dz\,\hat{a}_z.
Explicação rápida: o termo dr\,\hat{a}_r é a variação radial, o termo r\,d\varphi\,\hat{a}_\varphi é a variação tangencial ao círculo (o fator r aparece porque um pequeno ângulo d\varphi corresponde a arco r\,d\varphi), e dz\,\hat{a}_z é a variação vertical.

Passo 3

Propriedade dos vetores unitários cilíndricos: \hat{a}_r,\hat{a}_\varphi,\hat{a}_z\) formam uma base ortonormal, ou seja \[\hat{a}_i\cdot\hat{a}_j=\begin{cases}1,& i=j,\\\ 0,& i\ne j.\end{cases}
Isso significa que, ao fazer (\vec{F}\cdot d\vec l], apenas os produtos das componentes ao longo do mesmo vetor unitário sobrevivem.

Passo 4

Usar os dados da curva C. Como r=3 é constante ao longo de C, tem-se dr=0. Como z=0 constante, tem-se dz=0. Portanto
d\vec{l}=3\,d\varphi\,\hat{a}_\varphi.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}\cdot d\vec l. Substituindo \vec{F} e d\vec l:
\vec{F}\cdot d\vec l=\big(\sin\varphi\,\hat{a}_r + r\cos\varphi\,\hat{a}_\varphi + \tan\varphi\,\hat{a}_z\big)\cdot\big(3\,d\varphi\,\hat{a}_\varphi\big).
Pelo ortonormalidade, só o termo com \hat{a}_\varphi contribui. Logo
\vec{F}\cdot d\vec l = 3\,r\cos\varphi\,d\varphi.
Como na curva r=3, substitui-se r=3 e obtém-se
\vec{F}\cdot d\vec l = 9\cos\varphi\,d\varphi.

Passo 6

Agora integrar ao longo de C, ou seja \varphi de 0 a \pi/2:
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec l = \int_{0}^{\pi/2} 9\cos\varphi\,d\varphi.
Calcule a primitiva: a primitiva de \cos\varphi é \sin\varphi. Assim
\int_{0}^{\pi/2} 9\cos\varphi\,d\varphi = 9\big[\sin\varphi\big]_{0}^{\pi/2} = 9(\sin(\tfrac{\pi}{2})-\sin 0)=9(1-0)=9.

Resposta

9

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