Determine
em que
é o arco de circunferência orientado, definido por
, e
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde a curva
é o arco de circunferência dado por
e
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Campo vetorial:
. - Curva
: é um arco de círculo em coordenadas cilíndricas com fixo, , e variando de até . - O que se pede: o valor numérico da integral de linha
.
Passo 2
Lembrar a expressão do elemento de linha em coordenadas cilíndricas. Para um deslocamento infinitesimal em cilindricas vale
Explicação rápida: o termo
é a variação radial, o termo
é a variação tangencial ao círculo (o fator
aparece porque um pequeno ângulo
corresponde a arco
), e
é a variação vertical.
Passo 3
Propriedade dos vetores unitários cilíndricos:
Isso significa que, ao fazer (\vec{F}\cdot d\vec l], apenas os produtos das componentes ao longo do mesmo vetor unitário sobrevivem.
Passo 4
Usar os dados da curva
. Como
é constante ao longo de
, tem-se
. Como
constante, tem-se
. Portanto
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Substituindo
e
:
Pelo ortonormalidade, só o termo com
contribui. Logo
Como na curva
, substitui-se
e obtém-se
Passo 6
Agora integrar ao longo de
, ou seja
de
a
:
Calcule a primitiva: a primitiva de
é
. Assim