Use ortonormalização de Gram-Schmidt para obter uma base o.n. Sk do subespaço vetorial W= L(tildeS) de dimensão dim(W)=k do espaço vetorial V a partir da base dada tildeS de W nos seguintes casos:
a.) V=R^2, tildeS=f1=(3,4);
b.) V=W=R^3, tildeS=f1=(1,0,1), f2= (1,0,-1), f3=(0,3,4) ;
c.) V=R^4 e tildeS=f1=(1,0,-1,1), f2= (2,3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de ortonormalização de Gram–Schmidt na base tilde S de um subespaço W de dimensão k em V. Vamos calcular, em cada caso, um sistema ortonormal Sk que gera W.

Passo 2

Caso (a): V= R^2, tilde S=vec f1=(3,4).
Primeiro normalizamos vec f1:
|vec f1|=raiz3^2+4^2=5
vec e1=15(3,4)
Como já temos um vetor ortonormal e dim W=1, encerramos aqui.

Passo 3

Caso (b): V=W= R^3,
tilde S=vec f1=(1,0,1),,vec f2=(1,0,-1),,vec f3=(0,3,4).
Aplicando Gram–Schmidt:
Calculemos vec e1:
|vec f1|=raiz1^2+0^2+1^2=raiz2,
vec e1=1raiz2(1,0,1)
Agora vec u2=vec f2-l(vec f2cdotvec e1r),vec e1:
vec f2cdotvec e1=1cdot1+0cdot0+(-1)cdot1raiz2=0,
vec u2=vec f2=(1,0,-1),
vec e2=1|vec u2|,vec u2 =1raiz2(1,0,-1)
Finalmente vec u3=vec f3-(vec f3cdotvec e1)vec e1-(vec f3cdotvec e2)vec e2:
vec f3cdotvec e1=0+0+4raiz2=2raiz2, vec f3cdotvec e2=0+0+4(-1)raiz2=-2raiz2,
vec u3=(0,3,4)-(2raiz2)vec e1-(-2raiz2)vec e2=(0,3,0),
vec e3=1|vec u3|(0,3,0)=13(0,3,0)=(0,1,0)

Passo 4

Caso (c): V= R^4,
tilde S=vec f1=(1,0,-1,1),,vec f2=(2,3,-1,2).
Primeiro
|vec f1|=raiz1^2+0^2+(-1)^2+1^2=raiz3,
vec e1=1raiz3(1,0,-1,1)
Depois projetamos vec f2 sobre vec e1:
vec f2cdotvec e1=2+0+1+2raiz3=5raiz3,
vec u2=vec f2-5raiz3vec e1 =l(2,3,-1,2r)-53(1,0,-1,1) =l(tfrac13,3,tfrac23,tfrac13r)
Note que
|vec u2|=raiztfrac19+9+tfrac49+tfrac19 =raiz873,
vec e2=vec u2|vec u2| =1raiz87(1,9,2,1)

Resposta

(a)
S1=ltfrac15(3,4)r
(b)
S3=ltfrac1raiz2(1,0,1),;tfrac1raiz2(1,0,-1),;(0,1,0)r
(c)
S2=ltfrac1raiz3(1,0,-1,1),;tfrac1raiz87(1,9,2,1)r

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