Seja V=M2 times 2. Verifique se o subconjunto W de V é subespaço. Justifique sua resposta.
W=(lla & b c & d) in M2 times 2 ; a=c e b+d=0.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M2times2(R) e o subconjunto
W=a & b c & din M2times2(R) : a=c e b+d=0
Para mostrar que W é subespaço de V, vamos usar a definição: precisamos verificar que
  1. Wneqvarnothing (ou seja, 0in W),
  2. W é fechado sob soma,
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Vamos reescrever um elemento genérico de W. Se
M=a & b c & din W,
as condições são c=a e b+d=0. Logo c=a e d=-b. Assim todo Min W pode ser escrito como
M(a,b)=a & b a & -b,
com a,binR. Em outras palavras
W=lM(a,b)mid(a,b)inR^2r

Passo 3

Verificação de não vaziez e presença do vetor zero: para (a,b)=(0,0) temos
M(0,0)=0&00&0,
que é a matriz zero de V. Logo 0in W e Wneqvarnothing.

Passo 4

Fechamento sob soma: sejam
Então
portanto a soma fica ainda na forma e pertence a .

Passo 5

Fechamento sob multiplicação escalar: para ,
que também está em .

Resposta

Como W contém a matriz zero, é fechado sob soma e escalar, concluímos que W é subespaço de M2times2(R).

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