Seja
. Verifique se o subconjunto
de
é subespaço. Justifique sua resposta.
e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço de
, vamos usar a definição: precisamos verificar que
-
(ou seja, ), -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Vamos reescrever um elemento genérico de
. Se
as condições são
e
. Logo
e
. Assim todo
pode ser escrito como
com
. Em outras palavras
Passo 3
Verificação de não vaziez e presença do vetor zero: para
temos
que é a matriz zero de
. Logo
e
.
Passo 4
Fechamento sob soma: sejam
Então
portanto a soma fica ainda na forma
e pertence a
.
Passo 5
Fechamento sob multiplicação escalar: para
,
que também está em
.
Resposta
Como
contém a matriz zero, é fechado sob soma e escalar, concluímos que
é subespaço de
.