Considere a transformação linear T: R^2 R^2, definida por:
T(x, y)=(3 x+4 y, 4 x+3 y)
Determine se T é diagonalizável. Caso seja, encontre os autovalores e os autovetores de T.

Passo 1

O problema pede para verificar se a transformação linear
Tcolon R^2toR^2, T(x,y)=(3x+4y,;4x+3y)
é diagonalizável. Para isso vamos usar o fato de que um operador em R^2 é diagonalizável se existir uma base de R^2 formada por autovetores de T. Precisaremos, então, encontrar o polinômio característico, seus autovalores e depois os autovetores correspondentes.

Passo 2

Representamos T pela matriz em relação à base canônica:
A = 3 & 4 4 & 3

Passo 3

O polinômio característico de A é definido por chi(lambda)=det(A-lambda I). Calculando
A - lambda I = 3-lambda & 4 4 & 3-lambda
segue que
chi(lambda) = (3-lambda)^2 - 4cdot 4 = (3-lambda)^2 - 16

Passo 4

Para achar os autovalores, resolvemos chi(lambda)=0:
(3-lambda)^2 - 16 = 0 Longrightarrow 3 - lambda = pm 4
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lambda1 = 3 + 4 = 7, lambda2 = 3 - 4 = -1

Passo 5

Agora encontramos um autovetor para cada autovalor.
Para lambda1 = 7, resolvemos (A-7I)v=0:
A - 7I = -4 & 4 4 & -4 ,
daqui -4x + 4y = 0 implica y = x. Um autovetor correspondente é v1 = (1,1).
Para lambda2 = -1, resolvemos (A+I)v=0:
A + I = 4 & 4 4 & 4 ,
daqui 4x + 4y = 0 implica y = -x. Um autovetor correspondente é v2 = (1,-1).

Passo 6

Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes em R^2. Portanto existe uma base de autovetores e T é diagonalizável.

Resposta

T é diagonalizável.
Os autovalores e autovetores são:
lambda1 = 7 com autovetor proporcional a (1,1).
lambda2 = -1 com autovetor proporcional a (1,-1).

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