Determine se é diagonalizável. Caso seja, encontre os autovalores e os autovetores de .
Passo 1
O problema pede para verificar se a transformação linear
é diagonalizável. Para isso vamos usar o fato de que um operador em é diagonalizável se existir uma base de formada por autovetores de . Precisaremos, então, encontrar o polinômio característico, seus autovalores e depois os autovetores correspondentes.
Passo 2
Representamos pela matriz em relação à base canônica:
Passo 3
O polinômio característico de A é definido por chi(lambda)=det(A-lambda I). Calculando
Agora encontramos um autovetor para cada autovalor.
Para lambda1 = 7, resolvemos (A-7I)v=0:
A - 7I = -4 & 4 4 & -4 ,
daqui -4x + 4y = 0 implica y = x. Um autovetor correspondente é v1 = (1,1).
Para lambda2 = -1, resolvemos (A+I)v=0:
A + I = 4 & 4 4 & 4 ,
daqui 4x + 4y = 0 implica y = -x. Um autovetor correspondente é v2 = (1,-1).
Passo 6
Os vetores v1 e v2 são linearmente independentes em R^2. Portanto existe uma base de autovetores e T é diagonalizável.
Resposta
T é diagonalizável.
Os autovalores e autovetores são: lambda1 = 7 com autovetor proporcional a (1,1). lambda2 = -1 com autovetor proporcional a (1,-1).