Considere o espaço vetorial R^3 com o produto interno usual. Seja a base B=v1, v2, v3, onde:
v1=(1,1,0), v2=(1,-1,0), v3=(0,0,1)
Caso a base seja ortogonal, normalize os vetores para obter uma base ortonormal.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a base B=v1,v2,v3 em R^3 com o produto interno usual é ortogonal e, em caso afirmativo, normalizar os vetores para obter uma base ortonormal.

Passo 2

Calculamos os produtos internos entre os vetores para checar ortogonalidade:
lang<= v1,v2rang<= = (1)(1)+(1)(-1)+(0)(0)=0,
lang<= v1,v3rang<= = (1)(0)+(1)(0)+(0)(1)=0,
lang<= v2,v3rang<= = (1)(0)+(-1)(0)+(0)(1)=0
Como todos os produtos internos são zero, a base é ortogonal.

Passo 3

Calculamos as normas de cada vetor:
|v1| = raiz1^2+1^2+0^2 = raiz2,
|v2| = raiz1^2+(-1)^2+0^2 = raiz2,
|v3| = raiz0^2+0^2+1^2 = 1

Passo 4

Dividimos cada vetor pela sua norma para obter vetores de norma unitária:
u1 = v1|v1| = l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r),
u2 = v2|v2| = l(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0r),
u3 = v3|v3| = (0,0,1)

Resposta

A base ortonormal obtida é
l,(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0),;(tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2,0),;(0,0,1)r

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