Seja um vetor aleatório com densidade dada por
onde
é uma constante.
Determine o valor de
.
Determine o valor de
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos uma densidade conjunta de um vetor aleatório
dada por
e a gente precisa encontrar o valor da constante
.
Conteúdo da matéria: teoria de densidade conjunta de variáveis contínuas e condição de normalização (ou seja, a integral da densidade em toda a região deve ser 1). Vamos usar cálculo de integrais duplas e as propriedades de probabilidade.
Conteúdo da matéria: teoria de densidade conjunta de variáveis contínuas e condição de normalização (ou seja, a integral da densidade em toda a região deve ser 1). Vamos usar cálculo de integrais duplas e as propriedades de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, a teoria manda que toda densidade conjunta tem que satisfazer
Aqui a região onde
é não nula é
. Então vamos montar a integral dupla dessa função sobre essa região e igualar a 1 para achar
.
Passo 3
Escrevendo a integral de normalização com a ordem de integração adequada (primeiro
vai de 0 até
, depois
vai de 0 até 1):
Passo 4
Vamos calcular passo a passo:
- Integramos em
:
Então a integral vira
- Agora integramos em
:
Passo 5
Substituindo de volta:
E como essa integral tem que ser igual a 1, temos