Seja um vetor aleatório com densidade dada por
onde fX, Y(x, y)=ll k x y & 0 é uma constante.
Determine o valor de k.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos uma densidade conjunta de um vetor aleatório fX,Y(x,y)= k,x,y, & 0 < x < y < 1, 0, & caso contrário, dada por
á
e a gente precisa encontrar o valor da constante .
Conteúdo da matéria: teoria de densidade conjunta de variáveis contínuas e condição de normalização (ou seja, a integral da densidade em toda a região deve ser 1). Vamos usar cálculo de integrais duplas e as propriedades de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, a teoria manda que toda densidade conjunta tem que satisfazer
integral duplaR^2 fX,Y(x,y),dx,dy ;=;1
Aqui a região onde é não nula é . Então vamos montar a integral dupla dessa função sobre essa região e igualar a 1 para achar .

Passo 3

Escrevendo a integral de normalização com a ordem de integração adequada (primeiro integraly=0^1!!integralx=0^y k,x,y ;dx,dy ;=;1 vai de 0 até , depois vai de 0 até 1):

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Integramos em integralx=0^y x,dx ;=;x^22|0^y ;=;y^22 :
integral0^1 k,y cdot y^22;dy ;=; k2,integral0^1 y^3,dy
Então a integral vira
integral0^1 y^3,dy ;=;y^44|0^1 ;=;14
  1. Agora integramos em :

Passo 5

Substituindo de volta:
k2,cdot14 ;=;k8
E como essa integral tem que ser igual a 1, temos
k8 = 1 Longrightarrow k = 8

Resposta

.

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