Sejam X e Y v.a.s i.i.d. com densidade comum f.
Obtenha a densidade conjunta de U=X e V=X+Y tem termos de f.

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos duas v.a.s independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) U = X e V = X + Y e , cada uma com densidade . A gente quer achar a densidade conjunta de
Conteúdo envolvido: mudança de variável em v.a.s (densidade conjunta), cálculo de Jacobiano e uso da independência (para escrever ). Vamos precisar reescrever em função de , calcular o determinante da matriz de derivadas parciais (o tal do Jacobiano) e aplicar a fórmula de transformação de densidade.

Passo 2

Definimos a transformação
U = X, V = X + Y
Pra usar a fórmula de mudança de variável, precisamos da inversa:
X = U, Y = V - U
Ou seja, dado , a gente recupera por e .

Passo 3

A regra geral é
fU,V(u,v) = fX,Yl(x(u,v),,y(u,v)r) ;gl|det!partial(x,y)partial(u,v)gr|
  1. Como fX,Y(x,y) = f(x),f(y) e partial(x,y)partial(u,v) = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 1 & 0 -1 & 1 , são independentes,

fU,V(u,v) = fl(ur);;fl(v - ur);times 1
2) O Jacobiano é a matriz
[
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}

,
]
cujo determinante é
.
3) Substituindo e em e multiplicando pelo valor do Jacobiano, obtemos

Resposta

boxed fU,V(u,v) ;=; f(u);f(v - u)

Exercícios relacionados